Toán Ứng dụng 8

Tham khảo tài liệu toán ứng dụng 8, tài chính - ngân hàng, kế toán - kiểm toán phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Toán Ứng dụng 8Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng 2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Chứng minh bổ đề 2 1) Giaû 0 C söû Xeùdung löôï g p cuû C . XeùG  Rx 0 t t n a g : G  R , g (tx 0 )  t Kieå tra g (x )  p (x ) m Theo ñò lyù nh Hahn-Banach, toà taï f treâ E , khuyeáh cuû g ni n c a sao cho (x  E ) f ( x )  p (x ), f l ieâ tuï do boå 1, 3a) vaø (x 0 )  1. nc ñeà f Töø ñeà, 3b) suy ra (x C ) f (x )  1 boå 1 46 2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Định lý Hahn-Banach (dạng hình học thứ nhất)Cho A và B là hai tập hợp khác rỗng, lồi, và rời nhau củakhông gian định chuẩn E, A là tập mở. Khi đó tồn tại siêuphẳng đóng tách A và B theo nghĩa rộng. 47 2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Chứng minh Đặt C = AB.1) Kiểm tra C lồi 2) Kiểm tra C mở 3) Kiểm tra 0 CTheo bổ đề 2) tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E sao cho (z C ) f ( z )  0  (x  A , y  B ) f ( x )  f ( y )Cố định   R , với sup f ( x )    inf f ( y ) y B x AKhi đó siêu phẳng của phương trình { f ( x )   } tách A và B theonghĩa rộng. 48 2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Định lý Hahn-Banach (dạng hình học thứ hai)Cho A và B là hai tập hợp khác rỗng, lồi, và rời nhau củakhông gian định chuẩn E, A là tập mở. Khi đó tồn tại siêuphẳng đóng tách A và B theo nghĩa rộng. 49 2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Chứng minh Vôù  0, ñaëA  A  B (0, ) i t B  B  B (0, )1) Kiểm tra A vaø  lồi. B2) Kiểm tra A vaø  mở, không trống. B3) Kiểm tra A vaø  rời nhau. BKhi đó tồn tại siêu phẳng của phương trình { f (x )   } tách A vàB theo nghĩa rộng. (x  A , y  B , z  B (0,1)) f (x   z )    f ( y   z )  f (x )   || f ||   f ( y )   || f ||Vậy { f ( x )   } ;f  0 tách A và B theo nghĩa hẹp. 50 3. Định lý Banach - Steihauss. ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------Bổ đề BaireCho X là không gian mêtrix đủ, không trống. Giả sử x n n 1 là dãy các tập hợp đóng sao cho  X n  X n 1Khi đó tồn tại n0 sao cho int X n0  0. 51 3. Định lý Banach - Steihauss. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Định lý Banach - SteihaussCho E, F là hai không gian Banach. T i i I là họ các toán tửtuyến tính liên tục từ E vào F sao cho sup ||T i (x ) || . i I Khi đó sup ||T i ||L ( E ,F )  . i I 52 ...