Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Hàm lồi và bất đẳng thức

Đề tài trình bày các kiến thức cơ bản về hàm lồi trên R n; ột số bất đẳng thức cổ điển và các bài toán vận dụng chúng trong chứng minh bất đẳng thức; giới thiệu một cách cơ bản về bất đẳng thức Muirhead, bất đẳng thức Schur và một số ứng dụng của các bất đẳng thức Muirhead, Schur thông qua các bài toán.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Hàm lồi và bất đẳng thứcBỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOĐẠI HỌC ĐÀ NẴNGTHÁI THÙY LINHHÀM LỒI VÀ BẤT ĐẲNG THỨCChuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤPMã số: 60.46.40TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌCĐà Nẵng - Năm 2011Công trình được hoàn thành tạiĐẠI HỌC ĐÀ NẴNGNgười hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Trần Văn Ân.Phản biện 1:Phản biện 2:Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họptại Đại học Đà Nẵng vào ngày .... tháng .... năm ....Có thể tìm hiểu luận văn tại:- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng.- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng.-1-MỞ ĐẦU1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀIChứng minh bất đẳng thức luôn là một phần khó đối với học sinh trung học,kể cả đối với sinh viên Đại học. Do đó việc tìm ra cách giải chúng theo các phươngpháp tổng quát hơn luôn được nhiều người quan tâm.Một trong số những công cụ đưa ra để giải bài toán trên là Hàm lồi, cụ thể làsử dụng bất đẳng thức Jensen, Muirhead và Schur để làm cơ sở chứng minh cácbất đẳng thức khác. Vì vậy tôi chọn đề tài Hàm lồi và bất đẳng thức để làmluận văn tốt nghiệp của mình ở cấp cao học.2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨUTrong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi ở nhà trường phổ thông trung học, lýthuyết hàm lồi và sử dụng hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức chưa được đưavào giảng dạy và quan tâm đúng mức.Do vậy, tôi viết luận văn này nhằm góp phần làm tăng chất lượng bồi dưỡnghọc sinh giỏi ở cấp phổ thông trung học.3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU- Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu về hàm lồi và phương pháp chứng minhbất đẳng thức bằng hàm lồi.- Phạm vi nghiên cứu: Các bất đẳng thức về hàm lồi và việc ứng dụng chúngvào chương trình chuyên toán ở bậc trung học.4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU- Trình bày tóm tắt lý thuyết và các chứng minh định lý, hệ quả, mệnh đề.- Trình bày các bất đẳng thức về hàm lồi và đưa ra các bài tập vận dụng chúngtrong chứng minh bất đẳng thức.5. Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀILuận văn tiếp cận một vấn đề mới của hàm lồi, trong đó có hàm lồi theo nghĩaSchur.6. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂNLuận văn được chia làm các chương:-2-- Chương 1: Chương này trình bày các kiến thức cơ bản về hàm lồi trên Rn đểlàm lý thuyết cần thiết cho các chương tiếp theo. Trong đó có giới thiệu vềhàm lồi theo nghĩa Schur, các tính chất của hàm lồi theo nghĩa Schur và mộtvài ví dụ minh họa việc áp dụng các tính chất này để chứng minh bất đẳngthức.- Chương 2: Một số bất đẳng thức cổ điển và các bài toán vận dụng chúngtrong chứng minh bất đẳng thức được trình bày trong chương này. Ngoài ra,chương này giới thiệu một số ứng dụng của các bất đẳng thức Jensen thôngqua các bài toán.- Chương 3: Giới thiệu một cách cơ bản về bất đẳng thức Muirhead, bất đẳngthức Schur và một số ứng dụng của các bất đẳng thức Muirhead, Schur thôngqua các bài toán.-3-Chương 1HÀM LỒI TRÊN RNTẬP LỒI VÀ HÀM LỒI TRÊN RN1.11.1.1Tập lồi trên RnĐịnh nghĩa 1.1.1.1. Tập con A trong Rn được gọi là một tập hợp lồi nếu với mọix1 , x2 ∈ A; với mọi λ ∈ R sao cho 0 ≤ λ ≤ 1 thì λx1 + (1 − λ)x2 ∈ A.Chú ý: Tập ∅ được xem là tập lồi.Định nghĩa 1.1.1.2. Cho x1 , x2 ∈ Rn . Đoạn nối x1 , x2 được định nghĩa như sau:[x1 , x2 ] = {x ∈ X : x = λx1 + (1 − λ)x2 , 0 ≤ λ ≤ 1} .Nhận xét: Tập A là lồi nếu với mọi x1 , x2 ∈ A thì [x1 , x2 ] ⊂ A.Tính chất 1.1.1.1. Giả sử Aα ⊆ Rn , α ∈ I là các tập lồi; với I là tập chỉ số bất kỳ.TKhi đó, tập A = α∈I Aα cũng lồi.Định nghĩa 1.1.1.3. Cho A, B là các tập trong Rn và λ ∈ R. Các tập A + B, λAđược xác định như sau:A + B = {x + y|x ∈ A, y ∈ B}λA = {λx|x ∈ A}.Tính chất 1.1.1.2. Giả sử tập Ai ⊆ Rn lồi, λi ∈ R, i = 1, m. Khi đó: λ1 A1 + λ2 A2 +. . . + λm Am là tập lồi.Tính chất 1.1.1.3. Cho các tập Ai lồi trong Rn , i = 1, m. Khi đó, tích DescartesQmQm nAlàmộttậplồitrongii=1i=1 R .Định nghĩa 1.1.1.4. Vectơ x ∈ Rn được gọi là tổ hợp lồi của các vectơ x1 , x2 , . . . , xmPmPmtrong Rn nếu tồn tại λi ≥ 0, i = 1, m với i=1 λi = 1 sao cho x = i=1 λi xi .Định lý 1.1.1.1. Giả sử tập A ⊆ Rn là tập lồi và x1 , x2 , . . . , xm ∈ A. Khi đó, A chứatất cả các tổ hợp lồi của x1 , x2 , . . . , xm . ...