Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Một số phương pháp xây dựng độ đo và tích phân

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm ba chương. Chương 1 trình bày những kiến thức cơ bản về độ đo, mở rộng độ đo và các kiến thức cơ bản về giải tích hàm làm cơ sở để xây dựng nội dung các chương tiếp theo. Chương 2 trình bày cách xây dựng tích phân của hàm đo được - tích phân Lesbegue, các định lý về chuyển giới hạn dưới dấu tích phân, tích phân Riemann và tích phân Lebesgue trên R và một số tính chất của tích phân. Chương 3 trình bày cách xây dựng tích phân trên Daniell, trung bình Daniell và các tính chất, khái niệm đo được Daniell, sự tương đương giữa khả tích Lebesgue và khả tích Daniell, tính chất maximality của trung bình Daniell.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Một số phương pháp xây dựng độ đo và tích phân ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------- NGUYỄN THỊ HUỆMỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội, Năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------- NGUYỄN THỊ HUỆMỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán Mã số: 60.46.01.06 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. PHAN VIẾT THƯ Hà Nội, Năm 2014Mục lụcMở đầu 3Lời cảm ơn 51 Kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Nới rộng độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Phương pháp nới rộng độ đo Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Độ đo Lebesgue và độ đo Lebesgue- Stieltjes . . . . . . . . . . . 7 1.2.3 Độ đo Hausdorff trong không gian Metric . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Hàm đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Các khái niệm của giải tích hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4.1 Định lý Stone - Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4.2 Các lớp đơn điệu của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Tích phân theo quan điểm của lý thuyết độ đo 11 2.1 Tích phân Lebesgue trìu tượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Chuyển giới hạn dưới dấu tích phân Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 Tích phân Riemann và tích phân Lebesgue trên R . . . . . . . . . . . . 13 2.3.1 Một số tính chất của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Tích phân: Cách tiếp cận theo giải tích hàm 15 3.1 Tích phân theo phương pháp Daniell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.1.1 Tích phân trên Daniell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.1.2 Trung bình Daniell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.1.3 Các định lý hội tụ theo trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 3.2 Mở rộng tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.3 Tính đo được Daniell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.3.1 Tính đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.3.2 Tính đo được trên không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.4 Sự tương đương giữa khả tích Daniell và khả tích Lebesgue-Caratheodory 20 3.5 Tính chất Maximality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Tài liệu tham khảo 24 2Mở đầu Lý thuyết độ đo và tích phân là nền tảng xây dựng cho nhiều môn khoa họcchuyên ngành như: Lý thuyết xác suất, giải tích hàm . . . . Ở chương trình đàotạo đại học, cao học đã bước đầu nghiên cứu về lý thuyết độ đo, tích phân.Trong luận văn này sẽ sử dụng các kết quả cơ bản về độ đo và tích phân ở bậcĐại học và Cao học để nghiên cứu sâu hơn về Tích phân theo quan điểm độ đo.Ngoài ra, luận văn tập trung nghiên cứu về cách tiếp cận tích phân theo quanđiểm của giải tích hàm. Ta đã biết rằng lớp hàm khả tích Riemann rất hẹp bao gồm các hàm số màtập các điểm gián đoạn có thể bỏ qua đựơc. Còn các hàm số đo được tổng quátthì nói chung có thể không khả tích Riemann (ví dụ như hàm số Dirichlet). Đểvượt qua được sự hạn chế ấy, Lebesgue đã chia miền lấy tích phân thành cáctập nhỏ, mỗi tập bao gồm những điểm ứng với giá trị gần nhau của f (x), theoquan điểm cơ bản đó Lebesgue đã xây dụng một khái niệm tích phân tổng quáthơn, áp dụng cho tất cả các hàm số đo được và bị chặn. Ngoài ra, khi chuyểngiới hạn dưới dấu tích phân của tích phân Lebesgue không cần đòi hỏi khắt khevề điều kiện hội tụ đều như tích phân Riemann, từ đó đưa ra được nhiều kếtquả quan trong như tính hội tụ đơn điệu, hội tụ bị chặn. . . . Tuy nhiên, nếu muốn mở rộng định nghĩa tích phân vào những lĩnh vực phứctạp hơn như xét tính tuyến tính, tích phân trên không gian Banach. . . thì tíchphân Lebesgue gặp khó khăn. Do đó, l ...