Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Tuyến tính hóa của phương trình động lực trên thang thời gian

Nội dung chính của luận văn là định lí tuyến tính hóa trên thang thời gian chứng minh sự tương đương tôpô giữa hệ phương trình nửa tuyến tính (2) và hệ phương trình tuyến tính (1). Chìa khóa để giải quyết vấn đề này là các khái niệm nhị phân mũ, và xây dựng hàm tương đương tôpô H(t, x).
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Tuyến tính hóa của phương trình động lực trên thang thời gian ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN CƠ TIN TRẦN THỊ HOÀITUYẾN TÍNH HÓA CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC TRÊN THANG THỜI GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 02 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. LÊ HUY TIỄN Hà Nội - Năm 2014Mục lục Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii1 Kiến thức chuẩn bị 1 1.1 Thang thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Hàm mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.3 Một số kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.4 Đạo hàm trên thang thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Nhị phân mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Nguyên lí điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Tuyến tính hóa trên thang thời gian 12 2.1 Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Định lí tuyến tính hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Tuyến tính hóa hệ tuần hoàn trên thang thời gian 29 3.1 Thang thời gian tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2 Tuyến tính hóa trong trường hợp tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . 30 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Tài liệu tham khảo 34 i Lời cảm ơn Để hoàn thành được chương trình đào tạo và hoàn thiện luận văn này, trongthời gian vừa qua tôi đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ quí báu của gia đình,thầy cô và bạn bè. Vì vậy, nhân dịp này, tôi muốn được gửi lời cảm ơn tới mọingười. Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Lê Huy Tiễn, thầyđã rất nhiệt tình hướng dẫn và chỉ bảo tôi trong quá trình hoàn thành luận văn.Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tất cả các thầy cô trong khoa, nhữngngười đã trực tiếp truyền thụ kiến thức, giảng dạy tôi trong quá trình học caohọc. Tôi xin cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán - Cơ - Tin học, phòng Sau ĐạiHọc trường Đại học Khoa học Tự nhiên đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoànthiện các thủ tục bảo vệ luận văn. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn cha mẹ tôi, những người luôn yêu thương và ủnghộ tôi vô điều kiện. ii Lời nói đầu Gần đây, lí thuyết phương trình động lực trên thang thời gian được pháttriển một cách có hệ thống nhằm hợp nhất và suy rộng lí thuyết phương trìnhvi phân và phương trình sai phân. Luận văn trình bày lí thuyết phương trìnhđộng lực trên thang thời gian với bài toán tuyến tính hóa.Xét hệ phương trình tuyến tính x∆ = A(t)x, (1)và hệ phương trình nửa tuyến tính x∆ = A(t)x + f (t, x) (2)trong đó, t ∈ T, A ∈ Crd (T, L(X)). Bằng việc giới thiệu khái niệm hàm tương đương tôpô chúng tôi sẽ nghiêncứu mối quan hệ giữa hệ phương trình tuyến tính (1) và hệ phương trình nửatuyến tính (2). Trong luận văn, chúng tôi sẽ giới thiệu một vài điều kiện đủđảm bảo cho sự tồn tại của hàm tương đương H (t, x) biến nghiệm (c, d) - tựa bịchặn của hệ phương trình nửa tuyến tính (2) lên hệ phương trình tuyến tính (1).Chúng tôi mở rộng định lí tuyến tính hóa của Palmer về phương trình hệ độnglực trên thang thời gian. Ở đây, chúng tôi cũng trình bày một phương pháp giảitích mới để nghiên cứu bài toán tương đương tôpô trên thang thời gian. Kết quảlà mới ngay trong trường hợp T = R. Để đưa ra một cách đầy đủ các phươngpháp khác nhau nghiên cứu bài toán tương đương tôpô, chúng tôi xem xét cáckết quả khác nhau từ công trình nghiên cứu đầu tiên của Higler. Hơn nữa, chúngtôi sẽ chứng minh hàm tương đương H (t, x) cũng là ω - tuần hoàn khi hệ là ω -tuần hoàn. Nội dung chính của luận văn là định lí tuyến tính hóa trên thang thời gianchứng minh sự tương đương tôpô giữa hệ phương trình nửa tuyến tính (2) vàhệ phương trình tuyến tính (1). Chìa khóa để giải quyết vấn đề này là các kháiniệm nhị phân mũ, và xây dựng hàm tương đương tôpô H (t, x). Nội dung luậnvăn trình bày kết quả chính trong bài báo A new analytical method for thelinearization of dynamic equation on measure chains của Yonghui Xia, JindeCao và Maoan Han. Luận văn được chia thành ba chương iii Chương 1: trình bày khái niệm cơ bản trên thang thời gian và các kí hiệu,khái niệm nhị phân mũ của phương trình vi phân, phương trình sai phân vàkhái niệm nhị phân mũ trên thang thời gian. Chương 2: chứng minh sự tồn tại hàm tương đương tôpô của hệ phương trìnhnửa tuyến tính và hệ phương trình tuyến tính. Đây chính là mục đích chính củaluận văn. Chương 3: chứng minh hàm tương đương là ω - tuần hoàn nếu hệ tuyến tínhlà ω - tuần hoàn trên thang thời gian. ...