Tóm tắt luận văn Tiến sĩ Toán học: Sự tồn tại nghiệm yếu của một lớp phương trình và hệ phương trình Elliptic không tuyến tính với hệ số không trơn trong Rn

Luận án vưới mục tiêu nghiên cứu sự tồn tại nghiệm yếu của một lớp phương trình và hệ phương trình Elliptic không tuyến tính với hệ số không trơn trong Rn. Để nắm chi tiết nội dung mời các bạn cùng tham khảo luận án.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tóm tắt luận văn Tiến sĩ Toán học: Sự tồn tại nghiệm yếu của một lớp phương trình và hệ phương trình Elliptic không tuyến tính với hệ số không trơn trong RnBỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THÀNH CHUNG SỰ TỒN TẠI NGHIỆM YẾU CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH VÀHỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHÔNG TUYẾN TÍNH VỚI HỆ SỐ KHÔNG TRƠN TRONG RN Chuyªn ngμnh: TOÁN HỌC M∙ sè: 62 46 01 05 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC hμ néi – 2010 c«ng tr×nh ®−îc hoμn thμnh t¹i ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Ng−êi h−íng dÉn khoa häcPh¶n biÖn 1:Ph¶n biÖn 2:Ph¶n biªn 3:LuËn ¸n tiÕn sÜ sÏ ®−îc b¶o vÖ tr−íc Héi ®ång chÊm luËn ¸n cÊp nhµ n−íc häp t¹i ViÖn Nghiªn cøuv¨n ho¸ vµo håi giê ngµy th¸ng n¨m 2010Cã thÓ t×m ®äc luËn ¸n t¹i: - Đại học quốc gia Hà Nội - Th− viÖn Quèc gia Më ®Çu Tõ gi÷a thÕ kû thø 19, ph¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng ®· trë thµnh métph¬ng tiÖn nghiªn cøu chñ yÕu trong nhiÒu ngµnh to¸n häc kh¸c nhau, lµchiÕc cÇu nèi gi÷a c¸c ngµnh to¸n øng dông vµ to¸n lý thuyÕt. VÊn ®Ò chñyÕu xuyªn suèt trong nghiªn cøu lý thuyÕt vµ øng dông cña ph¬ng tr×nh®¹o hµm riªng ®ã lµ bµi to¸n tån t¹i nghiÖm. Cho ®Õn ®Çu thÕ kû 20, nghiÖmcña ph¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng ®îc hiÓu theo mét c¸ch chung nhÊt lµ c¸cnghiÖm cæ ®iÓn, tøc lµ nghiÖm kh¶ vi ®Õn cÊp cao nhÊt cña ®¹o hµm cãmÆt trong ph¬ng tr×nh. Tuy nhiªn, mét ®iÒu dÔ nhËn thÊy lµ ®Ó ph¶n ¸nht¬ng ®èi chÝnh x¸c mét qu¸ tr×nh vËt lý hay c¬ häc th× viÖc chØ quan t©m®Õn nghiÖm cæ ®iÓn cña ph¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng th«i lµ cha ®ñ. V× vËy,®Ó viÖc nghiªn cøu ph¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng cã ý nghÜa h¬n víi ®èi tîngmµ nã ph¶n ¸nh th× viÖc më réng kh¸i niÖm nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®¹ohµm riªng lµ mét vÊn ®Ò cÇn thiÕt. Do ®ã kh¸i niÖm nghiÖm suy réng ra®êi. Ngêi ta cã thÓ ®a ra nhiÒu ®Þnh nghÜa kh¸c nhau vÒ nghiÖm suy réngnhng ph¶i ®¶m b¶o mét nguyªn t¾c: võa chÆt chÏ vÒ mÆt to¸n häc võa cãý nghÜa vÒ ph¬ng diÖn vËt lý. Trong bèi c¶nh ®ã, híng nghiªn cøu cña chóng t«i ®Æt ra lµ: sö dôngph¬ng ph¸p biÕn ph©n nghiªn cøu sù tån t¹i nghiÖm suy réng (nghiÖmyÕu) cña c¸c bµi to¸n biªn ®èi víi ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh elliptickh«ng tuyÕn tÝnh. So víi c¸c ph¬ng ph¸p thêng ®îc sö dông nh: ph¬ngph¸p to¸n tö ®¬n ®iÖu, ph¬ng ph¸p nghiÖm trªn nghiÖm díi, ph¬ng ph¸pnguyªn lý ®iÓm bÊt ®éng vµ ph¬ng ph¸p bËc ¸nh x¹, ph¬ng ph¸p biÕnph©n tá ra cã hiÖu lùc h¬n c¶. ý tëng cña ph¬ng ph¸p biÕn ph©n ¸p dôngvµo ph¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng dùa trªn c¬ së lý thuyÕt ®iÓm tíi h¹n, mµnéidung cña nã lµ ®a bµi to¸n ®ang xÐt vÒ viÖc nghiªn cøu mét phiÕm hµmJ kh¶ vi liªn tôc theo mét nghÜa nµo ®ã trong kh«ng gian Banach X ®îcx©y dùng thÝch hîp (gäi lµ phiÕm n¨ng lîng liªn kÕt) sao cho ®iÓm tíi h¹ncña phiÕm hµm J lµ nghiÖm suy réng cña bµi to¸n ban ®Çu. Mét ph¬ng −1−ph¸p th«ng thêng ®Ó t×m ®iÓm tíi h¹n cña mét phiÕm hµm lµ t×m ®iÓmcùc tiÓu ho¸ cña phiÕm hµm ®ã. Tuy nhiªn, viÖc t×m ®iÓm cùc tiÓu cña métphiÕm hµm kh«ng hÒ ®¬n gi¶n. V¶ l¹i, líp c¸c phiÕm hµm cã thÓ cùc tiÓu ho¸t¬ng ®èi h¹n chÕ. V× vËy, trong nhiÒu trêng hîp ngêi ta quan t©m ®Õnc¸c ®iÓm yªn ngùa (kh«ng ph¶i cùc tiÓu) cña c¸c phiÕm hµm n¨ng lîng.C¬ së ®Ó nghiªn cøu ®iÓm yªn ngùa cña phiÕm hµm lµ c¸c bæ ®Ò biÕn d¹ngvµ ®iÒu kiÖn compact. Mét kÕt qu¶ quan träng kh¼ng ®Þnh sù tån t¹i ®iÓmtíi h¹n cña phiÕm hµm J trong kh«ng gian Banach X ®ã lµ §Þnh lý quanói (Mountain pass theorem). §Þnh lý qua nói lÇn ®Çu tiªn ®îc ®a ravµo n¨m 1950 bëi R. Courant cho c¸c phiÕm hµm x¸c ®Þnh trong kh«ng gianh÷u h¹n chiÒu. N¨m 1973, A. Ambrosetti vµ P. Rabinowitz ®· chøng minh®Þnh lý qua nói cho phiÕm hµm kh¶ vi FrÐchet liªn tôc trong mét kh«ng gianBanach.§Þnh lý 0.1 (xem [1]). Gi¶ sö (X, k.k) lµ mét kh«ng gian Banach, J : X →R lµ mét phiÕm hµm kh¶ vi FrÐchet liªn tôc trªn X, tho¶ m·n ®iÒu kiÖnPalais-Smale, tøc lµ víi mäi d·y {un } ⊂ X tho¶ m·n |J(un )| 5 C , ∀n vµDJ(un ) → 0 khi n → ∞, ®Òu cã thÓ trÝch ®îc mét d·y con héi tô trong X .H¬n n÷a, J(0) = 0 vµ phiÕm hµm J tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: (i) Tån t¹i α, r > 0 sao cho J(v) = α víi mäi v ∈ X , ||v|| = r;(ii) Tån t¹i v0 ∈ X víi ||v0 || > r sao cho J(v0 ) < 0.§Æt c = inf max J(ϕ(t)) : ϕ ∈ C([0, 1], X), ϕ(0) = 0, ϕ(1) = v0 . t∈[0,1]Khi ®ã, tån t¹i u∈X sao cho c = J(u) = α > 0 vµ DJ(u) = 0. Lý thuyÕt ®iÓm tíi h¹n cïng víi ®Þnh lý qua nói ®· gãp phÇn quan trängtrong viÖc nghiªn cøu sù tån t¹i nghiÖm yÕu cho mét líp kh¸ réng c¸c bµito¸n biªn ®èi víi ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng kh«ng −2−tuyÕn tÝnh. Nh÷ng c¶i tiÕn cña ®Þnh lý qua nói cïng víi ®iÒu kiÖn Palais-Smale ®· ®îc nhiÒu nhµ to¸n häc lín trªn thÕ giíi quan t©m nghiªn cøu.N¨m 1989, D.M. §øc trong c«ng tr×nh [9] ®· thiÕt lËp l¹i bæ ®Ò biÕn d¹ngvµ chøng minh ®Þnh lý qua nói cho líp c¸c phiÕm hµm kh¶ vi liªn tôc yÕutrong kh«ng gian Banach (xem §Þnh nghÜa 0.1). KÕt qu¶ nµy ®Æc biÖt h÷uÝch khi nghiªn cøu c¸c bµi to¸n elliptic víi hÖ sè kú dÞ.§Þnh nghÜa 0.1 (xem [9]). Cho X lµ mét kh«ng gian Banach. Ta nãi phiÕmhµm J : X → R kh¶ vi liªn tôc yÕu trªn X nÕu tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn: (i) J liªn tôc trªn X ...