Tóm tắt lý thuyết chuổi hàm

Chuỗi số có thể chứa các biểu thức thuộc một trong nhiều tập hợp bao gồm số thực, số phức và hàm. Định nghĩa dưới đây đúng với số thực nhưng có thể được tổng quát hóa.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tóm tắt lý thuyết chuổi hàm Tóm tắt lý thuyết-----------------------------------------------------------------------------------------------CHƯƠNG I : CHUỔI HÀM 1) §ÞNH NGHÜAChuỗi số có thể chứa các biểu thức thuộc một trong nhiều tập hợp bao gồm số thực,số phức và hàm. Định nghĩa dưới đây đúng với số thực, nhưng có thể được tổng quáthóa.Cho một dãy số thực vô hạn {an},được gọi là tổng hữu hạn đến N của dãy số {an}, hay tổng hữu hạn của chuỗi số. Mộtchuỗi số là một dãy các tổng hữu hạn {SN}.[sửa] Nhầm lẫn có thể cóKhi nói về chuỗi số, người ta có thể đang chỉ dãy các tổng hữu hạn {SN}, hoặc nói vềtổng của chuỗi số,hay còn gọi là giới hạn của dãy các tổng hữu hạn (xem định nghĩa ở phần sau). Để phânbiệt giữa hai khái niệm hoàn toàn khác biệt (một bên là chuỗi số, bên kia là tổng các giátrị), người ta đôi khi bỏ không viết các giới hạn (bên trên và bên dưới ký hiệu tổng), vídụ như:để chỉ chuỗi vô hạn. Chuỗi này có thể có hoặc không tương đương với một giá trị hữuhạn.[sửa] Chuỗi hội tụChuỗi   ∑an  được gọi là hội tụ khi dãy các tổng hữu hạn {SN} có một giới hạn hữuhạn. Nếu giới hạn của SN là vô hạn hoặc không tồn tại, chuỗi số được gọi là phân kỳ.Khi giới hạn của một dãy các tổng vô hạn tồn tại, giới hạn đó được gọi là tổng củachuỗi sốCách dễ nhất để một chuỗi vô hạn hội tụ là nếu an bằng không với mọi n đủ lớn. Dễthấy một chuỗi số như vậy có thể được viết dưới dạng một tổng hữu hạn, cho nênchuyện dãy số đó là vô hạn không có ý nghĩa gì.Tìm ra các giá trị của một chuỗi hội tụ kể cả khi tất cả các biểu thức đều khác khônglà tiêu điểm của việc nghiên cứu chuỗi. Xem xét ví dụ sau:Hoàng anh tài Anhtai121291@gmail.comCó thể hình dung sự hội tụ của chuỗi trên trục số thực: ta có thể hình dung mộtđoạn thẳng có chiều dài bằng 2, trên đó lần lượt bôi đen các phần với chiều dài 1, ½, ¼,v.v. Luôn luôn còn chỗ để bôi đen phần tiếp theo vì phần đoạn th ẳng còn lại luôn luônbằng phần đoạn thẳng vừa đánh dấu. Thật vậy, khi ta đã bôi đen ½, ta vẫn còn mộtphần có chiều dài ½ chưa bị bôi đen, nên hoàn toàn có thể bôi đen tiếp ¼, và cứ nh ư th ế.Điều này không chứng minh rằng tổng này bằng 2 (mặc dù đúng là như thế), nhưng nóchứng minh rằng tổng này nhỏ hơn hoặc bằng 2. Nói cách khác, chuỗi này có giới hạntrên.Toán học gia mở rộng đặc ngữ này để thể hiện các khái niệm khác, tương đương củachuỗi. Ví dụ, khi ta nói về số thực lặp phần thập phân, như:thực ra ta đang nói về chuỗi số mà nó thể hiện (0.1 + 0.01 + 0.001 + …). Tuy nhiên, vìnhững chuỗi này luôn hội tụ về số thực (bởi tính toàn diện của số thực), nói về chuỗisố theo cách này cũng giống như nói về các số mà chúng thể hiện. Đặc biệt, không nênthấy bất hợp lý khi coi 0.111… và 1/9 là một. Lập luận rằng 9 × 0.111… = 0.999… = 1không hiển nhiên, nhưng hoàn toàn chứng minh được một khi đã bi ết các định luật vềgiới hạn bảo toàn các phép tính số học. Xem 0.999... để biết thêm chi tiết.>>Một số dạng chuỗi vô hạn Chuỗi hình học là chuỗi mà mỗi hạng tử của nó là tích của hạng tử đứng trước • với một hằng số. Chẳng hạn: Tổng quát, chuỗi hình học hội tụ nếu và chỉ nếu |z| < 1. Chuỗi điều hòa là chuỗi • Chuỗi đan dấu là chuỗi trong đó các số hạng của nó đan dấu nhau. Chẳng hạn: • Chuỗi • hội tụ nếu r > 1 và phân kỳ nếu r ≤ 1, nó là một mô tả tốt cho tiêu chuẩn hội tụ tích phân. Khi xem như một hàm của r, tổng của chuỗi này là hàm zeta của Riemann. Chuỗi lồng nhau •Hoàng anh tài Anhtai121291@gmail.com hội tụ nếu dãy bn hội tụ tới giới hạn L khi n dần tới vô cực. Giá trị của chuỗi này là b1 − L.Các tính chất của chuỗiChuỗi được phân loại không chỉ theo chúng hội tụ hay phân kỳ: chúng còn được phânbiệt dựa vào các tính chất của các biểu thức an (hội tụ tuyệt đối hay có hội tụ có điềukiện); kiểu hội tụ của chuỗi (theo điểm hay đều); dạng của biểu thức an (số thực, cấpsố, hàm lượng giác); vân vân.Biểu thức không âmKhi an là một số thực không âm với mọi n, chuỗi các tổng một phần SN không giảmdần. Do đó chuỗi ∑an với toàn biểu thức không âm hội tụ khi và chỉ khi dãy các tổngmột phần SN bị giới hạn.Ví dụ, chuỗihội tụ, do có bất đẳng thứcvà theo lập luận về chuỗi lồng nhau, các tổng một phần bị giới hạn bởi 2.[sửa] Hội tụ tuyệt đối Bài chi tiết: Hội tụ tuyệt đốiMột chuỗiđược gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi gồm toàn giá trị tuyệt đối của các biểu thứccủa nóhội tụ. Có thể chứng minh rằng điều kiện này là đủ để không chỉ chuỗi gốc hội tụ vềmột giới hạn, mà cả các chuỗi tạo ra bằng cách sắp xếp lại các biểu thức của chuỗigốc cũng hội tụ về cùng giới hạn đó.[sửa] Hội tụ có điều kiện Bài chi tiết: Hội tụ có điều kiệnMột chuỗi số thực hoặc số phức được gọi là hội tụ có điều kiện (hoặc hội tụ bánphần) nếu nó hội tụ nhưng không hội tụ tuyệt đối. Một ví dụ nổi tiếng là chuỗi đandấuChuỗi này hội tụ (có tổng các biểu thức đúng bằng ln 2), nhưng chuỗi gồm toàn giá trịtuyệt đối của mỗi biểu thức của chuỗi này lại là chuỗi phân kỳ (xem chuỗi điều hòa).Định lý chuỗi Riemann nói rằng bất cứ chuỗi nào hội tụ có điều kiện đều có thể đượcsắp xếp lại để trở thành một chuỗi phân kỳ, hơn nữa, nếu an là số thực thì ta có thểHoàng anh tài Anhtai121291@gmail.comtìm được một cách sắp xếp sao cho chuỗi mới hội tụ và có tổng bằng bất kỳ số thực Snào.Abels test is an important tool for handling semi-convergent series. If a series has the formwhere the partial sums BN = b0 + ··· + bn are bounded, λn has bounded variation, andlim λnBn exists:then the series ∑an is convergent. This applies to the pointwise convergence of manytrigonometric series, as inwith 0 < x < 2π. Abels method consists in writing bn+1 = Bn+1 − Bn, and in performing atransformation similar to integration by parts (called summation by parts), that ...