tổng hợp kiến thức và hướng dẫn một số bài tập Dạng toàn phương

Tham khảo bài viết tổng hợp kiến thức và hướng dẫn một số bài tập dạng toàn phương, tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
tổng hợp kiến thức và hướng dẫn một số bài tập Dạng toàn phương tổng hợp kiến thức và hướng dẫn một số bài tập Dạng toànphương1. Khái niệm dạng toàn phương:Định nghĩa: Dạng toàn phương n biến là một hàm bậc haidạng:với các hệ số là các số thực và các biến là các biến thực.Nếu ta ký hiệu:chú ý A là ma trận đối xứng.Khi đó, ta có thể viết dạng toàn phương ở dạng ma trận sau:Ma trận A được gọi là ma trận của dạng toàn phương. Vậy ma trận củadạng toàn phương có dạng ma trận đối xứng.ví dụ 1: Cho hàm bậc hai . Rõ ràng, f(x) là dạngtoàn phương. Ma trận A có dạng:Ví dụ 2: Cho hàm bậc hai . Rõ ràng, g(x) làdạng toàn phương 3 biến. Ma trận A ccủa dạng toàn phương có dạng:1.2 Dạng toàn phương1.2 Dạng toàn phương chính tắc:Một dạng toàn phương chính tắc là dạng toàn phương mà trong biểuthức xác định không chứa các tích mà chỉ chứa các số hạng bìnhphươngNghĩa là: ma trận của dạng toàn phương là 1 ma trận chéo. là 1 dạng toàn phương chính tắc.Ví dụ:2. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc:2.1 Phương pháp ma trận trực giao:Từ định nghĩa của dạng toàn phương chính tắc, ta thấy nếu chuyển matrận của dạng toàn phương về dạng ma trận chéo thì có nghĩa là ta sẽchuyển được dạng toàn phương về dạng toàn phương chính tắc.Mặt khác, A là ma trận đối xứng nên ta có A luôn có n giá trị riêng thực,và các VTR ứng với các giá trị riêng khác nhau đều trực giao với nhau.Khi đó, nếu P là ma trận trực giao chéo hóa ma trận A và D là dạng chéocủa A thì ta có: (trong đó ). Vậy có thể chuyển Avề dạng chéo , nghĩa là chuyển dạng toàn phương về dạng chính tắc.Định lý:Cho dạng toàn phương , với A là ma trận vuông đối xứng cấpn với các giá trị riêng và P là ma trận trực giao làm chéo hóaA:Khi đó, bằng cách đổi biến ta đưa dạng toàn phương về dạngchính tắc sau:Chứng minh:Thật vậy ta đặt :Ta có:Rõ ràngVậy ta chỉ cần chéo hóa trực giao ma trận A của dạng toàn phương vàthực hiện phép đổi biến, ta sẽ đưa về dạng toàn phương chính tắc.Ví dụ: Cho dạng toàn phươngMa trận của dạng toàn phương là:Giải phương trình đặc trưng của ma trận A, ta có ma trận A có 2 giá trị là nghiệm kép.riêngVới Vectơ riêng ứng với GTR là nghiệm cũa hệ phương trình:Hay ta có hệ phương trình:Từ đó : VTR có dạng: và ta có 2 VTR độc lậptuyến tính là:Trực chuẩn hóa Gram – Schmidt hệ này ta được hệ trực chuẩn:Với Vectơ riêng ứng với GTR là nghiệm cũa hệ phương trình:Hay ta có hệ phương trình:Giải hệ này ta được VTR có dạng: và ta có 1 VTR độclập tuyến tính là: . Rõ ràng,Chuẩn hóa vectơ ta có:Vậy dạng toàn phương chính tắc là:Và ma trận P có dạng:Và công thức đổi biến là:Hay: