Trọn bồ đề thi cao học vinh

Trọn bồ đề thi cao học vinh là tài liệu mang tính chất tham khảo, giúp ích cho các bạn tự học, ôn thi, với phương pháp giải hay, thú vị, rèn luyện kỹ năng giải đề, nâng cao vốn kiến thức cho các bạn trong các kỳ thi sắp tới. Tác giả hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Trọn bồ đề thi cao học vinh §Æng Xu©n C¬ng - Cao häc 12 - Gi¶i tÝch - §¹i häc Vinh Kỷ niệm hè 2005 Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Céng hßa x· héi chñ nghÜa ViÖt Nam Trêng §¹i häc Vinh §éc lËp - Tù do - H¹nh phóc §Ò thi tuyÓn sinh cao häc n¨m 1999 M«n: Gi¶i tÝch Ngµnh: To¸n Thêi gian lµm bµi: 180 phótC©u1. 1) Gi¶ sö hµm f : R 2 → R cho bëi c«ng thøc  x2 y  2 nÕu x 2 + y 2 ≠ 0 f ( x, y ) =  x + y 2 0 nÕu x 2 + y 2 = 0  a) XÐt tÝnh liªn tôc cña f trªn R 2 . b) XÐt tÝnh kh¶ vi cña hµm f t¹i ®iÓm (0,0 ) . 2) T×m miÒn héi tô cña chuçi 1 1− x  ∞ n ∑ 2 n + 1 1 + x  n= 0    ∞ C©u 2. KÝ hiÖu l1 =  x = {x n } : x n ∈ C ; n ∈ N , ∑ x n < ∞  ;  n =1  1 ∞  ∞ 2 2 d1 ( x, y ) = ∑ x n − y n , d 2 ( x, y ) =  ∑ x n − y n  víi x = {x n } ; y = {y n } thuéc l1 . n =1  n =1 Chøng minh r»ng a) d1 , d 2 lÇn lît lµ c¸c mªtric trªn l1 ; b) kh«ng gian (l1 , d 1 ) ®Çy ®ñ ; kh¶ li. c) Kh«ng gian (l1 , d 2 ) kh«ng ®Çy ®ñ.C©u 3. Gi¶ sö C [0,1] lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn c¸c hµm sè thùc liªn tôc trªn [0,1] víi chuÈn supvµ A: C [0,1] → C [0,1] biÕn x thµnh Ax cho bëi ( Ax )(t ) = t 2 x(t ) víi mäi x ∈ C [0,1] vµ t ∈ [0,1] a) Chøng minh r»ng A lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc. TÝnh A b) Chøng tá r»ng A(C[0,1] ) lµ kh«ng gian con ®ãng cña C [0,1] .C©u 4. ¸nh x¹ f : X → Y tõ kh«ng gain t«p« X vµo kh«ng gian t«p« Y ®îc gäi lµ ®ãng nÕu víitËp ®ãng A bÊt k× ta cã f ( A) ®ãng trong Y. Chøng minh r»ng f : X → Y lµ ®ãng khi vµ chØ khi ( )f ( A) ⊂ f A víi mäi A ⊂ X . 1 §Æng Xu©n C¬ng - Cao häc 12 - Gi¶i tÝch - §¹i häc Vinh Kỷ niệm hè 2005 Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Céng hßa x· héi chñ nghÜa ViÖt Nam Trêng §¹i häc Vinh §éc lËp - Tù do - H¹nh phóc §Ò thi tuyÓn sinh cao häc n¨m 1999 M«n: §¹i sè Ngµnh: To¸n Thêi gian lµm bµi: 180 phótC©u 1. Gäi E n+1 Lµ kh«ng gian vÐct¬ tÊt c¶ c¸c ®a thøc mét Èn cã bËc ≤ n víi hÖ sè thùc. TrongE n+1 cho c¸c ®a thøc u k ( x ) víi 0 ≤ k ≤ n ®îc x¸c ®Þnh nh sau: u 0 = 0 ; u k ( x ) = x( x − 1)( x − 2)L ( x − k + 1) víi 0 ≤ k ≤ n . a) Chøng minh r»ng c¸c ®a thøc {u k }k = 0 lËp thµnh mét c¬ së cña E n+1 . n b) H·y chøng tá tån t¹i duy nhÊt mét phÐp biÕn ®æi tuyÕn tÝnh ϕ cña E n+1 thoả m·n n + 1 ( )®iÒu kiÖn ϕ x k = u k , k = 0,1,2, K, n . Vµ ϕ lµ mét song ¸nh. c) X¸c ®Þnh ¸nh x¹ ∂ : E n+1 → E n+1 bëi ®iÒu kiÖn ∂ [ p( x )] = p( x + 1) − p( x ) ; ∀p ( x ) ∈ En +1 .H·y chøng minh ∂ lµ mét ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh . T×m nh©n vµ ¶nh cña ∂ . T×m c¸c ®a thøc∂(u k ( x )) ; k = 0,1,2, K, n .C©u 2. a) Cho G lµ mét nhãm Xyclic. Chøng minh r»ng mäi nhãm con G còng lµ nhãm Xyclic. b) Gäi x lµ phÇn tö sinh cña nhãm Xyclic G. H·y t×m tÊt c¶ c¸c nhãm con cña G ®¼ngcÊu víi G. c) Chøng tá r»ng mäi nhãm con cÊp h÷u h¹n nguyªn tè ®Òu lµ nhãm Xyclic.C©u 3. Ta gäi mét trêng lµ nguyªn tè nÕu nã kh«ng chøa mét trêng con thùc sù nµo. a) Chøng minh r»ng trêng c¸c ssã h÷u tØ ¤ vµ trêng c¸c líp ®ång d ¢ p (víi p lµ sènguuyªn tè ) lµ trêng c¸c sè nguyªn tè. b) Cho X lµ mét trêng nguyªn tè bÊt k×. Chøng tá r»ng X ≅ ¤ hoÆc X ≅ ¢ p (víi p lµ mét sènguyªn tè nµo ®ã).C©u 4. Gi¶ sö phÐp biÕn ®æi tuyÕn tÝnh ϕ cña kh«ng gian R3 ®èi víi c¬ së ®¬n vÞ cã ma trận lµ:  8 −1 −5 A =  −2 3 1     4 −1 −1   a) T×m gi¸ trÞ riªng vµ vÐc t¬ riªng cña ϕ . b) T×m mét c¬ së cña R3 mµ ®èi víi nã ma t ...