Trường hấp dẫn đối xứng xuyên tâm

Trong hệ trục tọa độ cầu, dạng tổng quát nhất của ds là: ds 2 = h ( r , t ) dr 2 + k ( r , t )( d θ 2 + sin 2 (θ ) d ϕ 2 ) + l ( r , t ) dt 2 + a ( r , t ) drdt Do việc chọn hệ quy chiếu là bất kỳ nên ta có thể biến đổi tùy ý các tọa độ mà không ảnh hưởng đến tính đối xứng xuyên tâm của ds2, tức là có thể biến đổi sao cho:
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Trường hấp dẫn đối xứng xuyên tâm Trường hấp dẫn đối xứng xuyên tâm Võ Quốc Phong Tháng 6 năm 2007 (Cấm sao chép mà không trích dẫn) Trong hệ trục tọa độ cầu, dạng tổng quát nhất của ds là: ds 2 = h ( r , t ) dr 2 + k ( r , t )( d θ + sin 2 (θ ) d ϕ 2 ) + l ( r , t ) dt 2 + a ( r , t ) drdt 2 Do việc chọn hệ quy chiếu là bất kỳ nên ta có thể biến đổi tùy ý các tọa độ mà không ảnh hưởng đến tính đối xứng xuyên tâm của ds2, tức là có thể biến đổi sao cho: r = f1 (r , , t , ); t = f 2 (r , , t , ); a (r , t ) = 0; k (r , , t , ) = − r 2 ; h = −e λ ( r ,t ) ; l = eν ( r ,t ) Ta suy ra ds2 như sau: = e ν ( r , t ) c 2 dt + sin 2 θ d ϕ 2 ) − e λ dr − r 2 (dθ 2 2 2 2 ds Ngoài ra ta có: ds 2 = g αβ dx α dx β = g 00 c 2 dt 2 + g 01 cdtdr + g 02 cdtd θ + g 03 cdtd ϕ + g 11 dr 2 + g 12 drd θ + g 13 drd ϕ + g 22 d θ 2 + g 23 d θ d ϕ + g 33 d ϕ 2 Đồng nhất hai biểu thức trên ta được: ⎧ ⎧ g 00 = eν ⎪ g11 = −e λ ⎧ g 22 = −r 2 ⎧ g 33 = −r 2 sin 2 (θ ) ; ; ; ⎨ 00 −ν ⎨ 11 −λ ⎨ 22 − 2 ⎨ 33 ⎩ g = e ⎪ g = −e ⎩ g = −r ⎩ g = −r sin (θ ) −2 −2 ⎩ Ta có một nhận xét quang trọng sau: gαβ = 0 khi α ≠ β , g 22 , g 33 không phụ thuộc t [nhận xét (1)] Các số hạng Chritoffel: Ta có công thức tổng quát cho Chritofel như sau: ⎛ ∂g ∂g ∂g ⎞ 1 3 αδ ⎛ ∂gδβ ∂gδγ ∂gβγ ⎞ 1 ⎟ = ∑g ⎜ γ + β − δ Γ = g αδ ⎜ δβ + δγ − βγ α ⎟ ⎜ ∂xγ ⎟2 ⎜ ∂x ⎟ βγ ∂x β ∂xδ ∂x ∂x 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ δ =0 Trường hợp 1: khi α ≠ β ≠ γ ⇒ gαβ = gαγ = g βγ = 0 ;khi lấy tổng theo δ thì chỉ còn lại số hạng δ = α vì g αδ = 0 khi δ ≠ α theo nhận xét (1) ở trên nên: 1 3 αδ ⎛ ∂gδβ ∂gδγ ∂g βγ ⎞ 1 αα ⎛ ∂gαβ ∂gαγ ∂g βγ ⎞ Γ = ∑g ⎜ γ + β − δ α ⎟= g ⎜ γ + β − α ⎟=0 ⎜ ∂x ⎟2 ⎜ ∂x ⎟ βγ ∂x ∂x ∂x ∂x 2 δ =0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎡ gαβ = gαγ = 0 ⎡α ≠ β = γ ⇒⎢ Trường hợp 2: khi ⎢ ⎣ gαβ = gαγ = g βγ ≠ 0 ⎣α = β = γ ⎡α 1 αα ⎛ ∂gαβ ∂gαβ ∂g ββ ⎞ 1 αα ⎛ ∂g ββ ⎞ α ⎢ Γβγ = Γββ = g ⎜ β + − α ⎟ = g ⎜− α ⎟ ⎜ ∂x ∂x ⎟ 2 ⎜ ∂x ⎟ ∂x β 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎛ ∂g ∂g ∂g ⎞ 1 ⎛ ∂g ⎢α ⎞ 1 Γβγ = Γαα = g αα ⎜ αα + αα − αα ⎟ = g αα ⎜ − αα α ⎟ ⎢ α ∂x α ∂x α ⎠ 2 α ⎝ ∂x ⎝ ∂x 2 ⎠ ⎣ hoặc β = γ = 0 , trong các trường hợp α ≠ 0 thì β ≥ α , do đó chỉ có các số hạng sau là khác không: ** Khi α = 0 ta có: g 22 , g 33 không phụ thuộc t nên chỉ có: 1 00 ⎛ ∂g 00 ⎞ 1 −ν ⎛ ν ∂ν ⎞ 1 • ⎟= ν Γ00 = ⎟ = e ⎜e 0 g⎜ 2 ⎝ ∂x 0 ⎠ 2 ⎝ ∂x 0 ⎠ 2 • λ ...