Tuyển chọn một số lớp phương trình hàm trên tập rời rạc

Trong chuyên đề "Tuyển chọn một số lớp phương trình hàm trên tập rời rạc" sẽ mang tới cho bạn đọc tuyển tập các bài toán phương trình hàm trên tập rời rạc và một số bài toán phương trình hàm khác hay và khó với những lời giải vô cùng đặc sắc nhằm giúp bạn đọc có thể có nhiều cách nhìn khác về mảng toán này đồng thời cũng như chuẩn bị cho các kì học sinh giỏi, olympic. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết mội dung bài viết!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tuyển chọn một số lớp phương trình hàm trên tập rời rạc Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019TUYỂN CHỌN MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN TẬP RỜI RẠC Huỳnh Kim Linh Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn, Khánh Hòa Tóm tắt nội dung Những bài toán phương trình hàm ngày nay đã trở nên rất phổ biến đối với các bạn học sinh yêu Toán vì chúng đã xuất hiện thường xuyên trong các đề thi học sinh giỏi các cấp cũng như kì thi chọn đội tuyển quốc gia, VMO hay các kì thi khu vực và quốc tế mà ta được biết đến. Đặc biệt, trong các lớp dạng phương trình hàm, thì dạng phương trình hàm trên các tập rời rạc là một mảng được ít các học sinh chú ý tới bởi độ khó và chưa được tiếp xúc nhiều đồng thời ngoài việc sử dụng các kĩ thuật xử lý phương trình hàm cơ bản chúng ta còn phải sử dụng các tính chất số học rất đặc sắc của tập rời rạc như là: tính chia hết, tính chất của số nguyên tố, của số chính phương,... Trong chuyên đề này chúng tôi sẽ mang tới cho bạn đọc tuyển tập các bài toán phương trình hàm trên tập rời rạc và một số bài toán phương trình hàm khác hay và khó với những lời giải vô cùng đặc sắc nhằm giúp bạn đọc có thể có nhiều cách nhìn khác về mảng toán này đồng thời cũng như chuẩn bị cho các kì học sinh giỏi, olympic. 1 Phương trình hàm trên tập rời rạc qua các kỳ Olympic gần đây Bài toán 1.1 (IMO Shortlist 2004). Tìm tất cả các hàm số f : N∗ → N∗ thỏa mãn điều 2 kiện sau: f 2 (m) + f (n) m2 + n , ∀m, n ∈ N∗ (∗) Lời giải. Giả sử f là hàm số thỏa mãn điều kiện bài toán. Trong (∗) ta thế m = n = 1 ta được 2 f 2 (1) + f (1) 12 + 1 = 4 ⇒ f (1) = 1, do f (1) ∈ N và f (1) ≥ 1 Trong (∗) ta thế m = 1 ta được 2 f (1) + f (n) 1 + n , ∀m, n ∈ N ⇔ 1 + f (n) (1 + n)2 , ∀n ∈ N∗ 2 ∗ 2 Trong (∗) ta thế n = 1 ta được 2 2 f 2 ( m ) + f (1 ) m 2 + 1 , ∀ m ∈ N∗ ⇔ f 2 ( m ) + 1 m 2 + 1 , ∀ m ∈ N∗ 1 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 Với p là một số nguyên tố bất kì thì: Trong (∗) ta thế m = 1, n = p − 1 ta được