Tuyển tập bài tập giải tích (Tập III: Tích phân phụ thuộc tham số, tích phân bội, tích phân đường và tích phân mặt - In lần thứ tư): Phần 2

Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 cuốn "Bài tập giải tích (Tập III: Tích phân phụ thuộc tham số, tích phân bội, tích phân đường và tích phân mặt)" giới thiệu tới người đọc phương pháp giải các bài tập tại phần 1. Mời các bạn tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tuyển tập bài tập giải tích (Tập III: Tích phân phụ thuộc tham số, tích phân bội, tích phân đường và tích phân mặt - In lần thứ tư): Phần 2 Đ Á P S Ố VÀ L Ờ I G I Ả I 1 0 4 4 . V ì h à m d ư ó i d ấ u t í c h p h â n f ( x , y ) = yỊx 2 +y 2 liên tục t h e o h a i b i ế n (x, y ) t r o n g h ì n h c h ữ n h ậ t [ - 1 , 1] X [-S, ô ] , s > 0 n ê n t í c h p h â n l à h à m l i ê n t ụ c t h e o t h a m s ố y. D o đ ó t a c ó : Ì Ì Ì lim +y 2 dx = ị l i m ^ / x + y 2 2 dx = J | x | d x = 1 . -Ì 1045. H à m f ( x , y ) = liên tục trong h ì n h chữ n h ậ t 1+x 2 +y 2 [ 0 , 1] X [ - 5 , 5 ] , ô > 0 , c ò n c á c h à m a ( y ) = y , P(y) = Ì + y l i ê n t ụ c t r ê n đ o ạ n [-Ô, 5], v ì v ậ y t í c h p h â n p h ụ t h u ộ c t h a m s ố l à hàm l i ê n . t ụ c t h e o y t r o n g đ o ạ n [-Ô, ô ] . D o đ ó t a co: 1 + f dxy à 7 T = arctgl = lim f 5 ĩ = 1 ĩ = a r c t s x 2 J y>0 J l +x +y 0 1+X 1046. C h ú ý r ằ n g Ì nêu X> y f(x,y) = sgn(x-y) = 0 nếu X= y -1 nếu X< y V ó i X 6 [0, 1], n ế u y < 0 t h ì X > y do đ ó f ( x , y) = l ^ n ế u y > Ì t h ì X < y , do đ ó f ( x , y ) = - Ì - T ừ đ ó t a c ó : Nếu < 0 F(y) = } l . d x = l 0 Nếu y > l : F(y) =](-!) dx--l 97Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn Nếu 0 < y < Ì, Ì y Ì F(y) = j s g n ( x - y ) d x = J(-l)dx + Ị l d x = - y + l - y = l - 2 y 0 0 ý T ừ đó suy r a F(y) l à h à m l i ê n t ụ c v ố i m ọ i y e (-ao, +oo). 1047. Vì f ( t ) l à h à m l i ê n t ụ c t r ê n đ o ạ n [a, b ] n ê n t ồ n t ạ i n g u y ê n h à m F(t) t r ê n đ o ạ n đó. V ố i m ỗ i h c ố đ ị n h , F ( t + h) l à n g u y ê n h à m của h à m f ( t + h), t e [a - h , b - h ] . Theo c ô n g t h ứ c N e w t o n - L e i b n i z , v ớ i I h I đ ủ b é , t a có: |[f(t + h)-f(t)]dt = F(x+h) - F(x) - F(a+h) + F(a). a Vì v ậ y : r „ r f r m _ ,mi^_r F ( x + h ) - F ( x ) .. F(a+h)-F(a) lim— f(t + h)-f(t)]dt = lim — {• —-lim ^ a = f ( x ) - f(a). 1048. a) G i ả sử y * 0, c h ẳ n g h ạ n y > 0. X é t h ì n h c h ữ n h ậ t [0, 1] X [c, d], sao cho 0 < c < y < d. T r o n g h ì n h c h ữ n h ậ t n à y các đ i ề u k i ệ n đ ể á p d ụ n g q u i t ắ c L e i b n i z t h ỏ a m ã n . Do đ ó : ...