Tuyển tập các bài bất đẳng thức hay

Tham khảo tài liệu tuyển tập các bài bất đẳng thức hay, tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tuyển tập các bài bất đẳng thức hay Ờ ẦBất đẳng thức là một lĩnh vực khó, yêu cầu óc quan sát, linh cảm thực tế vàsức sáng tạo của người giải không gánh nặng lắm về lượng kiến thức.Chínhvì thế hầu hết các kì thi HSG thường có ít nhất 1 bài bất đẳng thức. Có thể nóihiện nay có rất nhiều phương pháp hiện đại chẳng hạn như SOS;…. mà dochính người VN ta tìm ra. Để chứng minh bất đẳng thức nếu sử dụng chúngthì hầu như bài nào cũng giải được. Nhưng liệu khi đi thi chúng ta có đủ thờigian để sử dụng chúng không? Nên việc tìm ra lời giải bằng các đẳng thứccổ điển luôn được đánh giá cao đặc biệt là đối với những người yêu bất đẳngthức. Trong bài viết này tôi sẽ chỉ nói về hai bất đẳng thức quen thuộc: côsi(AM-GM) bunhia (Cauchy – swarchz) trong giải các bài bất đẳng thức đại số.Hai bất đẳng thức này tuy nhiều ứng dụng nhưng để tìm ra chúng không phảidễ dàng. Tất cả được chỉ ra qua một lượng đáng kể những ví dụ đa dạng, từnhiều nguồn khác nhau, đặc biệt là những kì thi Olympic toán hoặc trênnhững trang web. làm cho bài viết trở nên vô cùng sinh động.II. HAI BẤT ĐẲNG THỨC: AM – GM; Cauchy – swarchz và ứng dụng.1. Bất đẳng thức AM – GM. Với a1, a2…; an là n số thực không âm ta có: a1 + a2 + … + an-1 + an n n a1a 2 ..a n 1a n Dấu “=” a1 = a2 = … = an Chứng minh bất đẳng thức này có khoảng hơn 40 cách nên xin dành lạicho bạn đọc. * Bất đẳng thức này rất quen thuộc và ứng dụng lớn nên nó sẽ là bấtđẳng thức đầu tiên mà các bạn cần nhớ và chú ý là dấu “=” xảy ra khi : a1 + a2 + … + an-1 = an.2. Bất đẳng thức Cauchy – swarchz (cs) *Với hai dãy số thực tùy ý a1 ;a2 … an và b1, b2, bn ta luôn có: 1 (a1b1+a2+b2+..anbn)2( a12 a2 .. an ) ( b12 b22 .. bn2 ) 2 2 Dấu “=” J số k sao cho aj = k.bj (Với J = 1, n ) *Hệ quả: (dạng cộng mẫu số) 2 (a1 a2 ..an ) 2 a12 2 an a2 (Với xi > 0 , v = 1, n ) .. x1 xn xn x1 x2 .. xn Bất đẳng thức này còn có tên gọi là Engel hay Swarchz. Chứng minh bất đẳng thức (*) có nhiều cách nhưng có một cách nàycác bạn nên nhớ: n 2 ( a1 a2 ..an ) 2 ( b12 .. bn ) - (a1b1+a2+b2+..anbn) = 2 (ajbJ - aJbi) i; j 13. Ứng dụng. *Bài toán 1: cho a, b, c o. CMR a b c 3 (*)(BĐT Nesbit) bc ca ab 2Cách 1: a 1 b 1 c 1 BĐT: (*) ( )( )( )0 bc 2 ca 2 ab 2 a 1 b 1 c 1( )( )( )0 bc2 ca2 ab2 ( a b) 2 (b c) 2 (c a ) 2 02(c a)(c b) 2(a b)(a c) 2(b a)(b c) 3 [(a b)(b c )(c a )]2 a b c 3 3 2 [(a b)(b c )(c a )]2bc ca ab 2 (Đúng).Ta còn có thể sử dụng bất đẳng thức Am-Gm để làm chặt.Với cùng điều kiệntrên ta có bất đẳng thức khoẻ hơn sau: 3 [(a b )(b c )(c a )]2 a b c 3 3 2 [(a b )(b c )(c a )]2bc ca ab 2Cách 2: 2 a2 b2 c2 (a b c )2 a b c bc ca ab a (b c ) b (c a ) c (a b ) 2(ab bc ca ) (Cauchy – swarchz dạng Engel) (a b c) 2 3 2(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) Mà : 0 2 2(ab bc ca) (a-b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 0 Đpcm ...