Ứng dụng dãy tỷ số trong sáng tạo và giải toán hệ phương trình 2015: Phần 1 -Nguyễn Thành Hiển

Tính chất dãy tỷ số, sáng tạo hệ phương trình, các bài tập ví dụ về ứng dụng dãy tỷ số là những nội dung chính trpng phần 1 tài liệu "Ứng dụng dãy tỷ số trong sáng tạo và giải toán hệ phương trình 2015". Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Ứng dụng dãy tỷ số trong sáng tạo và giải toán hệ phương trình 2015: Phần 1 -Nguyễn Thành Hiển NGUYỄN THÀNH HIỂN ỨNG DỤNG DÃY TỶ SỐ TRONG SÁNG TẠO VÀ GIẢI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH (2015) (PHẦN 1)Một tính chất cực kỳ đơn giản trong toán học, nếu biết cách khai thác sẽ tạo ra vô số bài toán Hệ phươngtrình hay và độc đáo. Xin gửi tặng các thành viên group Nhóm Toán bài viết nhỏ về Dãy tỷ số bằng nhau,cũng như hướng giải các câu hệ mà mình đăng trong khoảng thời gian vừa qua. ! f (x, y) h(x, y)A. Tính chất dãy tỷ số. Nếu tồn tại = , thì g(x, y) k(x, y) f (x, y) h(x, y) a.f (x, y) b.h(x, y) a.f (x, y) + b.h(x, y) 1. = = = = , với mọi a, b 6= 0. g(x, y) k(x, y) a.g(x, y) b.k(x, y) a.g(x, y) + b.k(x, y) n n a.(f (x, y))n b.(h(x, y))n a.(f (x, y))n + b.(h(x, y))n f (x, y) h(x, y) 2. = = = = , với mọi a, b 6= 0. g(x, y) k(x, y) a.(g(x, y))n b.(k(x, y))n a.(g(x, y))n + b.(k(x, y))nB. Sáng tạo hệ phương trình. • Bước 1 : Chọn dãy tỷ số sao cho có thể tìm nghiệm x và y dễ dàng (dùng wolframalpha cho tiện !) f (x, y) h(x, y) T = = g(x, y) k(x, y) Phương trình (1) : f (x, y).k(x, y) = h(x, y).g(x, y). • Bước 2 : Sử dụng dãy tỷ số [1] hoặc [2] để tạo ra phương trình (2) 1. Mức độ dễ : a.f (x, y) + b.h(x, y) = T.(a.g(x, y) + b.k(x, y)). 2. Mức độ khó : a.(f (x, y))n + b.(h(x, y))n = T n .(a.(g(x, y))n + b.(k(x, y))n ).Ví dụ. Xét dãy tỷ số √ 3 x x−1 √ = = 2. x+1 y+1 p √ ! √ 3 1+2 2−2Ta nhận được nghiệm (x; y) = 2 + 2 2; 2 √ √ • Phương trình (1) : xy + x = x + 1 3 x − 1. √ • Mức độ dễ : chọn a = x + 1 + y 2 ; b = −1, ta được hệ phương trình như sau √ √ xy + x = √ x + 1 3 x − 1 (1) √ (x, y ∈ R ) (x − 2y 2 ) x + 1 + xy 2 + 2y = 2x + 3 x − 1 (2) • Mức độ khó : chọn n = 3; a = 1; b = −x2 , ta được hệ phương trình sau √ √ xy + x = x + 1 3 x − 1 (1)√ (x, y ∈ R ) x2 [1 + (2y + 2)3 ] = 8(x + 1) x + 1 (2)C. Các ví dụ minh họa.Ví dụ 1. Giải hệ phương trình  √ p p  x y + 2 − y x2 − y = x2 − y (1) √ p x2 + 2 √ (x, y ∈ R )  y y + 2 + x x2 − y = √ − y + 2 (2) 3Hướng dẫn : √ p y+2 x2 − y √ p • Dễ thấy x 6= 0 và y = 6 1, (1) ⇔ = . Chọn a = y + 2; b = x2 − y, ta có y+1 x √ p y+2 x2 − y x2 + 2 = = √ p y+1 x (y + 1) y + 2 + x x2 − y x2 + 2 √ • Từ (2) ⇔ √ p = 3 (y + 1) y + 2 + x x2 − y 1 √  √ √  y = ( 13 − 5)  y+2= √ 3(y + 1) 6r • Vậy p 2 ⇔ √ x − y = 3x  x = 1 1 5 − 13  2 3Ví dụ 2. Giải hệ phương trình 3 √ x + 2x2 y√= (2x + 1) 2x + y (1) ...