Ước lượng khoảng cách biên soạn Nguyễn Tiên Tiến

Chuyên đề: Ước lượng khoảng cách giữa các điểm đặc biệt của tam giácTác giả: Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình. Nội dung chính gồm có 8 phần:khoảng cách giữa các điểm đặc biệt, khoảng cách từ các điểm đặc biệt đến tâm đường tròn bàng tiếp, khoảng cách từ các điểm đặc biệt đến điểm Lemoine(Lomoan) của tam giác,.....
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Ước lượng khoảng cách biên soạn Nguyễn Tiên TiếnMathVn.Com - Ước lượng khoảng cách giữa các điểm đặc biệt của tam giác 1 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CÁCH GIỮA CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA TAM GIÁCI. MỞ ĐẦU Khi nghiên cứu các tính chất của tam giác, ta thấy có một số điểm đóngvai trò đặc biệt và chúng có quan hệ mật thiết với nhau. Chẳng hạn, mối quan hệgiữa các điểm: trọng tâm G, trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp O tam giác uuu uuu uuu r r rbiểu thị qua hệ thức OG : GH : OH = 1: 2 : 3 ; khoảng cách giữa hai tâm đườngtròn ngoại tiếp, nội tiếp và các bán kính R, r của chúng biểu thị qua hệ thứcEuler đẹp đẽ: IO 2 = R 2 - 2Rr .Một vấn đề được đặt ra là với những điểm nêu trên ta có thể xác định đượckhoảng cách còn các điểm đặc biệt khác của tam giác như: tâm đường tròn nộitiếp, tâm đường tròn bàng tiếp, điểm Lemoine, điểm Naghen, điểm Gergone thìhệ thức liên hệ giữa chúng như thế nào? Có xác định được không? Bài tập nàyxin được giới thiệu về cách xác định những khoảng cách đó và một số hệ thứcgiữa những khoảng cách này. Đồng thời, thông qua nghiên cứu các khoảng cáchđó ta cũng đưa ra được một số đánh giá về các yếu tố liên quan đến tam giácnhư: chu vi, bán kính đường tròn nội tiếp, bán kính đường tròn ngoại tiếp. Cũngthông qua bài tập này chúng ta có thể thấy một số cặp phạm trù của triết họcđược vận dụng trong quá trình nghiên cứu như: cái chung và cái riêng; nội dungvà hình thức; chủ quan và khách quan.MỘT SỐ KÝ HIỆUABC : tam giác ABCG : trọng tâm tam giác ABCH : trực tâm tam giác ABCI : tâm đường tròn nội tiếp tam giácO : tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácIa , Ib ,Ic : tâm đường tròn bàng tiếp tương ứng với góc A, B, CL : điểm Lemoine của tam giácN : điểm Naghen của tam giácThầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng ở www.mathvn.comMathVn.Com - Ước lượng khoảng cách giữa các điểm đặc biệt của tam giác 2J : điểm Gergone của tam giácp : nửa chu vi của tam giácS : diện tích của tam giácR, r : bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giácra , rb , rc : bán kính đường tròn bàng tiếp ứng với góc A, B, Cå ab = ab + bc + ca ; å a b = a b 2 2 2 2 + b2c2 + c2a 2 ; åa 2 = a 2 + b 2 + c2åa = a + b + c ; åa = a + b 3 3 3 3 4 4 4 + c4II. MỘT SỐ KẾT QUẢ CƠ BẢN Trước hết, ta nhắc lại các kết quả sau:(dễ dàng chứng minh được) uuu uuu uuu r r r r1. GA + GB + GC = 0 uur uur uu r r2. aIA + bIB + cIC = 0 uuu uuu uuu r r r uuur3. HA + HB + HC = 2HO uuu uuu uuu uuu r r r r4. OA + OB + OC = OH uuu r uuu uuu r r uuur uuu r5. OH = 3OG; 3HG = 2HO = 6GO uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu r r r r r r r r r6. AH = OB + OC; BH = OC + OA; CH = OA + OB = pr = (p - a ) ra = (p - b) rb = (p - c) rc abc7. S = 4R 2 (å a 2 b 2 ) - (å a 4 )8. S = p (p - a )(p - b)(p - c) = 169. 2(å ab) - (å a 2 ) = 4r 2 + 16Rr10. å ab = p + r + 4Rr 2 211. å a = 2p - 2r - 8Rr 2 2 212. å a = 2p (p - 3r - 6Rr ) 3 2 213. (p - a )(p - b) + (p - b)(p - c) + (p - c)(p - a ) = r (4R + r ) a2 b2 c2 4p (R - r )14. + + = p-a p-b p-c rThầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng ở www.mathvn.comMathVn.Com - Ước lượng khoảng cách giữa các điểm đặc biệt của tam giác 3 2(b 2 + c2 ) - a 2 2(c 2 + a 2 ) - b 2 2 (a 2 + b 2 ) - c 215. GA =2 ;GB = 2 ;GC = 2 9 9 9 uuu uuu 2 r r ( )16. HA 2 = OB + OC = 4R 2 - a 2 ; HB2 = 4R 2 - b 2 ; HC2 = 4R 2 - c217. IA 2 = r 2 + (p - a ) = bc - 4Rr ; IB2 = ca - 4Rr; IC2 = ab - 4Rr 2 ...