Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình

Có thể nói trong chương trình toán ở bậc trung học phổ thông th ì phần kiến thức về bất đẳng thức là khá khó. Nói về bất đẳng thức thì có rất nhiều bất đẳng thức được các nhà Toán học nổi tiếng tìm ra và chứng minh. Đối với phần kiến thức này thì có hai dạng bài tập là chứng minh bất đẳng thức v à vận dụng bất đẳng thức để giải các bài toán có liên quan. Là một sinh viên ngành toán tôi không ph ủ nhận cái khó của bất đẳng thức v...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trìnhVận dụng bất đẳng thức t ìm GT LN - GTNN và giải phương trình PHẦN MỞ ĐẦU Trang 1 Sưu t m b i: www.daihoc.com.vnVận dụng bất đẳng thức t ìm GT LN - GTNN và giải phương trìnhI. LÝ DO CH ỌN ĐỀ T ÀI Có thể nói trong ch ương tr ình toán ở bậc trung học phổ thông th ì phần kiếnthức về bất đẳng thức l à khá khó. Nói v ề bất đẳng thức th ì có rất nhiều bất đẳngthức được các nh à Toán h ọc nổi tiếng t ìm ra và ch ứng minh. Đối với phần kiến thứcnày thì có hai d ạng bài tập là chứng minh bất đẳng thức v à vận dụng bất đẳng thứcđể giải các b ài toán có liên quan. Là một sinh vi ên ngành toán tôi không ph ủ nhận cái khó của bất đẳng thức v àmuốn tìm hiểu thêm về các úng dụng của bất đẳng thức để phục vụ cho việc giảngdạy toán sau n ày. Do đó tôi ch ọn đề tài “V ận dụng bất đẳng thức để t ìm giá tr ị lớnnhất, giá trị nhỏ nhất v à giải ph ương trình” để tìm hiểu thêm. Khi v ận dụng bất đẳngthức để giải các bài toán d ạng này thì có r ất nhiều bất đẳng thức để chúng ta vậndụng. Ở đây tôi chỉ giới hạn trong ba bất đẳng thức l à bất đẳng thức Côsi,Bunhiacopski và b ất đẳng thức vect ơ. Trong đ ề tài này tôi trình bày cách v ận dụngba bất đẳng thức tr ên để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất v à giải phương trình đểrèn luyện khả năng vận dụng bất đẳng thức để giải toán v à qua đó có th ể tích lũyđược kinh nghiệm trong giải toán để giảng dạy sau n ày.II. MỤC ĐÍCH NGHI ÊN C ỨU Mục tiêu chính c ủa đề tài này là t ổng hợp các bài toán tìm giá tr ị lớn nhất,nhỏ nhất v à giải phương trình bằng bất đẳng thức chủ yếu vận dụng ba bất đẳngthức nói tr ên. Qua đây tôi hi v ọng sẽ đưa ra đ ầy đủ các dạng vận của các bất đẳngthức nói tr ên.III. Đ ỐI TƯỢNG NGHI ÊN C ỨU Đối tượng của đề t ài là ba bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopski v à bất đẳng thứcvectơ cùng v ới các b ài toán tìm giá tr ị lớn nhất, nhỏ nhất v à các phương tr ình. Đềtài này ch ủ yếu xoay quanh ba đối t ượng tr ên bên c ạnh đó tôi cũng giới thiệu v àchứng minh một số bất đẳng thức thông d ụng khác.IV. PHẠM VI NGHI ÊN C ỨU Phạm vi của đề t ài này ch ỉ xoay chủ yếu v ào ba bất đẳng thức đ ã nêu trên đểgiải các b ài toán tìm giá tr ị lớn nhất, nhỏ nhất v à giải phương trình.VI. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN C ỨU Tìm và tham kh ảo tài liệu, sưu tầm phân tích v à bài tập giải minh họa, thamkhảo ý kiến của cán bộ h ướng dẫn Trang 2 Sưu t m b i: www.daihoc.com.vnVận dụng bất đẳng thức t ìm GT LN - GTNN và giải phương trình PHẦN NỘI DUNG Trang 3 Sưu t m b i: www.daihoc.com.vnVận dụng bất đẳng thức t ìm GT LN - GTNN và giải phương trình Phần 1: SƠ LƯỢC VỀ BẤT ĐẲNG THỨC1.1. Định nghĩa bất đẳng thức Cho hai s ố thực a, b bất kỳ, ta định nghĩa: ab ab01.2. Tính ch ất cơ bản của bất đẳng thức ab acbc acbc ab abc acb ab cd aceb d f ef a b và m 0 ma mb a b và m 0 ma mb ab0 cd0 ac bd an bn ab0 n a b1.3. Một số bất đẳng thức c ơ bản1.3.1. Bất đẳng thức chứa trị tuyệt đối a b a b dấu “=” xảy ra ab 0 a b ab a1 a2 ... an a1 a2 ... an1.3.2. Bất đẳng thức Côsi Cho hai s ố dương a, b ta có: a b 2 ab Dấu “=” xảy ra ab Tổng quát: cho n số không âm a1 , a2 ,..., an n 2 , ta luôn có: a1 a2 ... an n n a1.a2 ...an n a1 a2 ... an Dấu “=” xảy ra Mở rộng: Cho n s ố dương a1 , a2 ,..., an n 2 và n số , ,...., dương 1 2 n có: 1 ... n 1 . Thì: 2 a1 1 .a2 2 ...an n 1a1 a ... a 22 nn a1 a2 ... an Dấu “=” xảy ra Trang 4 Sưu t m b i: www.daihoc.com.vnVận dụng bất đẳng thức t ìm GT LN - GTNN và giải phương trình1.3.3. Bất đẳng thức Bunhiacopski Bất đẳng thức Bunhiacopski: Cho hai b ộ số a, b và c, d ta có: 2 a2 b2 c2 d 2 ac bd ab Dấu “=” xảy ra cd Tổng quát: Cho n số a1 , a2 ,..., an và b1, b2 ,.., b ...