Vành với các điều kiện của linh hóa tử trái mịn

Mục đích của bài viết là nghiên cứu về linh hóa tử trái mịn mà W.K. Nicholson, Yiqiang Zhou đã đưa ra từ đó khai thác một số đặc trưng vành, chẳng hạn lớp vành Ikeda - Nakayama, lớp vành Artin, lớp vành - chính quy mạnh với các điều kiện linh hóa tử trái mịn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Vành với các điều kiện của linh hóa tử trái mịn TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 VÀNH VỚI CÁC ĐIỀU KIỆN CỦA LINH HÓA TỬ TRÁI MỊN Hoàng Đình Hải1, Vũ Thị Nhì2, Nguyễn Thị Hương3 TÓM TẮT Việc nghiên cứu các đặc trưng vành thông qua căn Jacobson gợi dẫn các nghiêncứu mới về linh hóa tử trái mịn và các ứng dụng của nó. Linh hóa tử trái mịn của mộtvành đã được W.K. Nicholson, Yiqiang Zhou trình bày trong [3]. Một Iđêan phải A củavành R được gọi là mịn nếu với mọi Iđêan phải B của R mà A + B = R thì B = R; Ađược gọi là linh hóa tử trái mịn nếu l(B) = 0 (l(B) là linh hóa tử trái của B). Mục đíchcủa bài báo là nghiên cứu về linh hóa tử trái mịn mà W.K. Nicholson, Yiqiang Zhou đãđưa ra từ đó khai thác một số đặc trưng vành, chẳng hạn lớp vành Ikeda - Nakayama,lớp vành Artin, lớp vành - chính quy mạnh với các điều kiện linh hóa tử trái mịn. Từ khóa: Iđêan phải mịn, linh hóa tử, căn Jacobson. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Trong bài báo, là vành bên phải, kết hợp, có đơn vị . Tập con I củavành được gọi là Iđêan phải nếu và gọi là Iđêan trái nếu . Nếu Ivừa là Iđêan phải vừa là Iđêan trái thì gọi là Iđêan của vành khi đó ta viếtTa nói Iđêan là cốt yếu trong và kí hiệu là nếu có giao khác không vớimọi Iđêan khác không của . Chúng ta kí hiệu căn Jacobson của là ; và , , lần lượt kí hiệu cho đế bên phải, đế bên trái, Iđêan kì dị phải, Iđêan kìdị trái của Linh hóa tử trái của Iđêan là { ∈ ∈ }. Ta nhắclại rằng một Iđêan phải của vành được gọi là mịn nếu với mọi Iđêan phải B của mà thì và ta kí hiệu là Phần tử ∈ được gọi là lũylinh (tựa lũy linh) nếu tồn tại ∈ sao cho . là vành - chính quy mạnh nếu với mọi ∈ dây chuyền đều dừng,điều này tương đương với dây chuyền đều dừng, kéo theo mọivành hoàn chỉnh bên trái hay bên phải đều là vành chính quy mạnh. 2. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 2.1. Linh hóa tử và linh hóa tử trái mịn Định nghĩa 1. Cho là một vành, là một - môđun trái, là một tập connào đó của Linh hóa tử của trong được định nghĩa là tập hợp { ∈ ∈ }1 Trung tâm Giáo dục Quốc tế, Trường Đại học Hồng Đức2 Học viên cao học lớp Đại số và Lý thuyết số K11, khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Hồng Đức56 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 Bổ đề 1. Linh hóa tử của trong là một Iđêan của Chứng minh: Thật vậy, Với mọi ∈ và ∈ . Do đó ∈ Với mọi ∈ ∈ ∈ . Điều đó chứng tỏ ∈ . Với mọi ∈ ∈ ∈ . Chứng tỏ ∈ Vậy là một Iđêan của . Bổ đề 2. Cho là một miền nguyên và là một - môđun xoắn trái hữu hạnsinh. Khi đó môđun có một linh hóa tử khác không. Chứng minh: Theo giả thiết là một - môđun hữu hạn sinh nên tồn tại tậpsinh hữu hạn { } sao cho . Do là một - môđunxoắn trái nên với mỗi ∈ , tồn tại phần tử khác không ∈ sao cho =0.Chúng ta sẽ chứng minh phần tử khác không ∈ với thỏa mãn với mọi ∈ . Với mỗi ∈ , ∈ ∈. Do là một miền nguyên, và =0, ta có: ( ) . Nhận xét 1. Bổ đề 2 không còn đúng khi bỏ đi giả thiết hữu hạn sinh đối với mô đun . Chứng minh: Ta có vành các số nguyên, là một miền nguyên. Xét - môđun . Với mỗi ∈ , , trong đó ∈ . Điều đó suy ra và do đó là - môđun xoắn trái. Bây giờ giả sử rằng ∈ . Chọn số nguyên sao cho . Xét phầntử ) trong có duy nhất thành phần thứ k khác 0. ∈ nên do Do đó đòi hỏi . Vậy . Định nghĩa 2. Cho vành với đơn vị 1. Một phần tử của - môđun đượcgọi là phần tử xoắn nếu với nào đó thuộc . Tập hợp các phần tử xoắncủa kí hiệu là { ∈ } Nhận xét 2. Cho vành với đơn vị 1 và - môđun , là một Iđêan củaGọi là tập con các phần tử của sao cho chúng bị triệt tiêu bởi lũy thừa nàođó của bậc lũy thừa tùy thuộc phần tử Khi đó là một môđun con của . Chứng minh: Thật vậy, đặt { ∈ ...