Vẻ đẹp lời giải hình học qua các bài toán lượng giác - ThS. Hoàng Minh Quân

Tài liệu "Vẻ đẹp lời giải hình học qua các bài toán lượng giác" được biên soạn bởi Ths. Hoàng Minh Quân (giáo viên Toán trường THPT chuyên Nguyễn Huệ, Hà Nội), trình bày vẻ đẹp lời giải hình học qua các bài toán lượng giác. Mời thầy cô và các em cùng tham khảo chi tiết tài liệu tại đây.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Vẻ đẹp lời giải hình học qua các bài toán lượng giác - ThS. Hoàng Minh QuânNHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM Trao đổi kinh nghiệm dạy học theo định hướng tiếp cận năng lực người học Vẻ đẹp lời giải hình học qua các bài toán lượng giác Ths. HOÀNG MINH QUÂN GV Trường THPT chuyên Nguyễn Huệ, Hà Nội Trong chương trình toán THPT, để chứng minh một số hệ thức lượng giác, ta thường sử dụng các biến đổi lượng giác. Câu hỏi đặt ra, ngoài các cách biến đổi lượng giác thì ta có cách tiếp cận nào khác để giải quyết vấn đề không? Để trả lời câu hỏi này, bài viết sau đây mời bạn đọc cùng đến với hướng tiếp cận hình học cho chứng minh một số hệ thức lượng giác.I. CÁC ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC Bài 1. Chứng minh rằng với x + y   , ta có sin ( x + y ) = sin x cos y + cos x sin y. Chứng minh 1. Gọi z là góc thỏa mãn x + y + z =  . Ta có x, y, z là ba góc của một tam giác. Không mất tổng quát, giả sử tam giác đó nội tiếp đường tròn bán kính 1 r= . 2 c 1 Ta có sin z = : = c , tương tự sin x = a , sin y = b . 2 2 Từ công thức c = a cos y + b cos x , ta có sin z = sin x cos y + cos x sin y  sin ( x + y ) = sin x cos y + cos x sin y. Chứng minh 2. Vẽ tam giác ABC với H là chân đường cao hạ từ đỉnh A lên cạnh BC. Đặt BAH = x; CAH = y và AB = a; AC = b; AH = h. Ta có SABC = SABH + SACH 1 1 1  ab sin ( x + y ) = ah sin x + bh sin y 2 2 2 1 1 1  ab sin ( x + y ) = ab cos y.sin x + ba cos x.sin y 2 2 2  sin ( x + y ) = sin x cos y + cos x sin y. https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdcNHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAMChứng minh 3.Vẽ tam giác ABC với D là chân đường cao hạ từ đỉnh A , E là chân đường cao hạ từ đỉnh C ,  x, BAC ABC  y . Khi đó  ACD  x  y . CE. AB CE.  AE  EB Ta có AD.BC  CE. AB  AD   . BC BC AD CE.  AE  EB  AE CE CE EBMặt khác, lại có sin  x  y   sin  ACD    .  . AC AC.BC AC BC AC BChay sin  x  y   cos x sin y  sin x cos y.  Bài 2. Chứng minh rằng với x; y   0;  và x  y ta có  2 sin  x  y   sin x cos y  cos x sin y.Chứng minh 1. Dựng tam giác ABC vuông tại A , gọi D là điểm thuộc cạnh AC sao choABC  x,  ABD  y.Đặt BC  a; BD  b . Ta có AB  b cos y  a cos x; AD  a sin x  b sin y . 1 1Mặt khác ta có SBCD  SABC  SABD  AB. AC  AB. AD 2 2 BD.BC.sin  x  y   AB. AC  AB. AD b.a.sin  x  y   b cos y.a sin x  a cos x.b sin y sin  x  y   cos y.sin x  cos x.sin y.Chứng minh 2. https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdcNHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAMVẽ tam giác ABC vuông tại A , độ dài BC  1 . Trên cạnh AC lấy điểm D ,đặt  ABC  x;    x  y. Gọi E là hình chiếu của D lên cạnh BC . Đặt ABD  y  DBCBD  h; DE  d . AB AB AB cos xTa có cos x   AB  cos x; cos y  h  . BC AD cos y cos yTrong tam giác vuông EBD có d  h sin  x  y  .Mặt khác, CD  CA  AD  sin x  h sin y. Do đó trong tam giác vuông EDC , ta có d sin C   d  CD.sin C  CD.cos x   sin x  h sin y  cos x. CDVậy ta có d  h sin  x  y    sin x  h sin y  cos x cos x  cos x  h sin  x  y    sin x  h sin y  cos x  sin  x  y    sin x  sin y  cos x cos y  cos y  sin  x  y   cos y.sin x  cos x.sin y.  Bài 3. Chứng minh rằng với x; y   0;  , ta có  2 cos  x  y   cos x cos y  sin x sin y. (3)Chứng minh 1. Dựng tam giác ABC có đường cao AH , đặt AB  a; AC  b và góc     x  y     x  y .   y  BACABC  x; HAC 2 2 https://www.facebook.com/grou ...