Về hằng số liên thông trên lưới tổ ong

Nội dung chính của bài viết trình bày về hằng số liên thông trên lưới tổ ong là hằng số liên thông trên một mạng lưới là đại lượng liên quan đến số lượng đường đi không tự cắt trên lưới đó (lưới có thể là ô vuông, hay lục giác (lưới tổ ông), ...). Mời các bạn tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Về hằng số liên thông trên lưới tổ ong VỀ HẰNG SỐ LIÊN THÔNG TRÊN LƯỚI TỔ ONG Huỳnh Công Bằng - Ecole Normale Supérieure de LyonHằng số liên thông trên một mạng lưới là đại lượng liên quan đến số lượng đường đi không tự cắttrên lưới đó (lưới có thể là ô vuông, hay lục giác (lưới tổ ông), ...) Vào năm 1982, một lập luậndựa trên q gas coulomb của Nienhuis dự đoán rằng trên mạng lưới lục giác, hằng số liên thông pbằng 2 C 2. Điều này đã được chứng minh chi tiết bởi Duminil-Copin và Smirnov bằng cáchsử dụng phương pháp parafermionic.1. Giới thiệuKý hiệu cn là số đường đi không tự cắt (SAW) trên mạng lưới lục giác H với độ dài n và bắt đầutừ O. Ta có: p cn . 2/nĐiều này có được bằng cách đếm số đường đi lên phía trên và đi xuống phía dưới ở bước thứ2k C 1 và số đường đi ngang ở bước thứ 2k C 2 với k 2 N.Ta có thể cắt một đường đi SAW có độ dài m C n thành hai phần SAW có độ dài n và m. Do đó cmCn cm cn :Theo bổ đề subadditivity, ta có 1 p lim cnn D 2 2; 2 and cn n ; 8n 1 1vì D lim cnn D inf.cnn /. n n p qĐịnh lý 1. Đối với mạng lưới lục giác, ta có D 2C 2. 33 Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016Một vài ký hiệu: Ta sẽ làm việc trên những trung điểm của các cạnh của H . Tập hợp tất cả nhữngđiểm đó là H ˘ .Ta viết a 2 H ˘ ; W a ! E nghĩa là bắt đầu tại a và kết thúc tại một điểm trong E H ˘ .l. / D #fa 2 H W a 2 g là độ dài của (Vì là số các đỉnh thuộc ).Ta định nghĩa hàm số sau đây: X z.x/ D x l. / for x > 0: Wa!H ˘Ta co X X X X z.x/ D x l. / D cn x l. / D cn x n .x/n : Wa!H ˘ n n nDo đó, 1 If x < then z.x/ < C1: 1 If x > then z.x/ D C1. Khi đó, ta chỉ cần chứng minh 1 z.x/ < C1 if x < p p 2C 2va 1 z.x/ D C1 if x D p p : 2C 2 1 2ita dat xc D p p voi j D e 3 . 2C 22. CầuTrong mục này, ta định nghĩa một lớp của SAW là cầu và ta sẽ chứng minh rằng số cầu sẽ tăng tỉlệ với số SAW ( n ) và từ đó ta có thể chứng minh rằng p q b .H / D 2 C 2:Định nghĩa 1. Một cầu n-bước là một SAW có n-bước sao cho 1 .0/ < 1 .i/ 1 .n/ 8i D 1; 2; 3; : : : ; n:trong đó 1 .i/ là tọa độ đầu tiên .i/. 34Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016Ký hiệu bn à một cầu n-bước với .0/ D 0. Ta đặt b0 D 1:Ta có bmCn bm bn , do đó 1 1 b D lim bn n D sup bnn : n!C1 nHơn nữa, bn n nb n .Định nghĩa 2. Một nửa mặt phẳng n-bước là một SAW có n bước với 1 .0/ < 1 .i/; 8i:Ta đặt hn là số lượng nửa mặt phẳng n bước với .0/ D 0:Định nghĩa 3. Độ dày của nửa mặt phẳng n bước là max 1 .i/ min 1 .i/ 0i n 0i nvới bn;A là số n-bước cầu với độ dài A: n XTa có bn D bn;A . AD1Định lý 2. (Hardy-Ramanujan): Cho n 2 N, gọi PD .n/ là số cách để viết n D n1 Cn2 C Cnktrong đó n1 > n2 > > nk 1 cho bất kỳ k, khi đó, ta có n 21 ln PD .n/ as n ! C1: 3Mệnh đề 1. hn PD .n/ bn với mọi n 1.Đặt b0 D 0, ta định nghĩa Ai C1 D max . 1/i .1 .j / 1 .ni // j >niva n o ni C1 D max j > ni . 1/i .1 .j / 1 .ni // D Ai C1 :Nghĩa là: n1 là giá trị cực đại của 1 .j / W j > n0 và n2 là giá trị cực tiểu của 1 .j /; j > n1 .Ta đặt hn .a1 ; a2 ; : : : ; ak / là số nửa mặt phẳng n bước với K D k; Ai D ai :Ta có hn .a1 ; a2 ; : : : ; ak / hn .a1 C a2 ; a3 ; : : : ; ak / ::: hn .a1 C a2 C C ak / D bn;a1 Ca2 CCak :Do đó, X X hn D hn .a1 ; a2 ; : : : ; ak / k1 1a1 ...