Về môđun tựa nội xạ linh

Một môđun M được gọi là tựa nội xạ linh nếu với mỗi m ∈ Nil(M) và mỗi đồng cấu f: mR → M , tồn tại một đồng cấu ¯f : M → M sao cho ¯f(x) = f(x) với mọi x ∈ mR. Trong bài báo này, các tác giả đưa ra một số đặc trưng của lớp các môđun tựa nội xạ linh và chứng tỏ một số kết quả được biết có thể suy ra từ các đặc trưng này.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Về môđun tựa nội xạ linhTẠP CHÍ KHOA HỌC, Đại học Huế, Số 65, 2011VỀ MÔĐUN TỰA NỘI XẠ LINHTrương Công Quỳnh, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà NẵngLương Thị Minh Thủy, Trường Đại học Sư phạm, Đại học HuếTÓM TẮT.Một môđun M được gọi là tựa nội xạ linh nếu với mỗi m ∈ N il (M ) và mỗiđồng cấu f : mR → M , tồn tại một đồng cấu f¯ : M → M sao cho f¯(x) = f (x)với mọi x ∈ mR. Trong bài báo này, chúng tôi đưa ra một số đặc trưng của lớpcác môđun tựa nội xạ linh và chứng tỏ một số kết quả được biết có thể suy ra từcác đặc trưng này.1. Giới thiệuTrong bài báo này, vành R đã cho luôn được giả thiết là vành kết hợp có đơnvị 1 6= 0 và mọi R-môđun được xét là môđun unita. Với vành R đã cho, viết MR(R M ) để chỉ M là một R-môđun phải (t.ư, trái). Trong một ngữ cảnh cụ thể củabài viết, khi không sợ nhầm lẫn về phía của môđun, để đơn giản chúng ta viếtmôđun M thay vì MR . Chúng ta dùng các ký hiệu A ≤ M (A < M ) để chỉ Alà môđun con (t.ư., thực sự) của M . Nếu A là môđun con cực đại (hạng tử trựctiếp) của môđun M , chúng ta viết A ≤max M (t.ư., A ≤⊕ M ). Căn Jacobson,đế của môđun M được ký hiệu tương ứng là Rad(M ) và Soc(M ); đặc biệt, J(R)được dùng để ký hiệu cho căn Jacobson của vành R. Chúng ta viết Mn (R) để chỉvành các ma trận vuông cấp n với hệ tử trên vành R. Nếu I là một tập hợp vớicard(I) = α và M là một môđun, tổng trực tiếp α bản sao của M được ký hiệubởi M (I) hoặc M (α) , tích trực tiếp α bản sao của M bởi M I hoặc M α . Chúng taký hiệu Mod-R (R-Mod) là phạm trù các R-môđun phải (t.ư., trái).Cho M và N là các R-môđun phải. Đồng cấu từ M đến N được hiểu là đồngcấu từ R-môđun phải M đến R-môđun phải N .Cho M là một R-môđun phải và tập ∅ =6 X ⊂ M . Linh hóa tử phải của Xtrong R được ký hiệu là rR (X) và được xác định như saurR (X) = {r ∈ R | xr = 0 (∀x ∈ X)}.Khi không sợ nhầm lẫn chúng ta có thể viết gọn là r(X) thay vì rR (X). VớiX = {x1 , x2 , . . . , xn } ta viết r(x1 , x2 , . . . , xn ) thay vì r({x1 , x2 , . . . , xn }). Ta córR (X) là một iđêan phải của vành R. Hơn nữa, nếu X là môđun con của M thìr(X) là một iđêan (phải và trái) của R. Linh hóa tử trái của X trong R được kýhiệu là lR (X) và được định nghĩa tương tự.157Như chúng ta được biết, một R-môđun phải Q được gọi là nội xạ nếu mỗi biểuđồ gồm các đồng cấu của các R-môđun phải với hàng là khớpQf0p6 Ip p f¯pppiA-pB-đều tồn tại một đồng cấu f¯ : B → Q để biểu đồ trên giao hoán, nghĩa là f¯i = f.Năm 1940, Baer đã đưa ra một tiêu chuẩn quan trọng để kiểm tra tính nội xạcủa môđun như sau: R-môđun phải Q là nội xạ nếu và chỉ nếu mỗi biểu đồ gồmcác đồng cấu của các R-môđun phải với hàng là khớpQf0-p6 Ip p f¯pppIi-pRRtrong đó I là iđêan phải của R, đều tồn tại một đồng cấu f¯ : RR → Q để biểuđồ trên giao hoán, nghĩa là f¯i = f.Từ khi có tiêu chuẩn Baer cho tính nội xạ, hai hướng phát triễn của mở rộngnội xạ cùng tồn tại. Đầu tiên là mở rộng nội xạ theo định nghĩa gốc. Từ địnhnghĩa này, Ming đã lấy các R-môđun phải A là các R-môđun phải xyclic trongbiểu đồ giao hoán trên, ta có định nghĩa C-nội xạ. Tiếp tục theo hướng đó, nếutrong biểu đồ giao hoán trên lấy các R-môđun phải A là đế của B, ta được kháiniệm soc-nội xạ mạnh (theo [2]). Bài báo này tiếp tục xét các môđun A trongbiểu đồ trên chỉ là các môđun mR với m ∈ N il(M ), nhờ vào định nghĩa dùng tíchcủa các môđun con. Theo [4], một môđun M được gọi là tựa nội xạ chính nếu chomỗi m ∈ M và mỗi đồng cấu f : mR → M , tồn tại một đồng cấu f¯ : M → Msao cho f¯(x) = f (x) với mọi x ∈ mR. Một số kết quả và mối liên hệ giữa môđuntựa nội xạ chính và vành tự đồng cấu của nó đã được nghiên cứu.Theo [4], một môđun M được gọi là tựa nội xạ đơn nếu với mỗi môđun conđơn N của M và mỗi đồng cấu f : N → M , tồn tại một đồng cấu f¯ : M → Msao cho f¯(x) = f (x) với mọi x ∈ N . Rõ ràng ta cótựa nội xạ chính ⇒ tựa nội xạ đơn.Bên cạnh đó, hướng thứ hai cũng được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu.Trong [5], Nicholson-Yousif đã đưa ra khái niệm một môđun M được gọi là P-nộixạ nếu cho mỗi a ∈ R và mỗi đồng cấu f : aR → M , tồn tại một đồng cấuf¯ : RR → M sao cho f¯(x) = f (x) với mọi x ∈ aR. Các tác giả trên đã đưa ranhiều đặc trưng thú vị về các vành sao cho RR là P-nội xạ. Ngoài ra, một sốtrường hợp tổng quát của môđun P-nội xạ cũng được nghiên cứu và mở rộng,chẳng hạn như môđun GP-nội xạ, AGP-nội xạ....Năm 2007, Wei và Chen ([6]) đã đưa ra một trường hợp tổng quát của môđunP-nội xạ đó là môđun nội xạ linh, theo đó một môđun M được gọi là nội xạ linh158nếu với mỗi phần tử lũy linh a của R và mỗi đồng cấu f : aR → M , tồn tại mộtđồng cấu f¯ : RR → M sao cho f¯(x) = f (x) với mọi x ∈ aR. Một cách tự nhiênchúng tôi đưa ra khái niệm môđun tựa nội xạ linh. Trong bài báo này chúngtôi nghiên cứu đặc trưng của lớp môđun này.2. Kết quảTrước khi định nghĩa tích của hai môđun con của một môđun, chúng ta xéttích các iđêan trong một vành R. Giả sử I, K là các iđêan của vành R, ...