Một số đặc trưng của môđun tựa nội xạ linh

Một môđun M được gọi là tựa nội xạ linh nếu cho mỗi m ∈ N il(M) và mỗi đồng cấu f : mR → M, thì tồn tại một đồng cấu ¯f : M → M sao cho ¯f(x) = f(x) với mọi x ∈ mR. Đây là lớp môđun được xây dựng dựa trên định nghĩa về tích của hai môđun con và được xem là một trong những trường hợp tổng quát của lớp môđun P-nội xạ. Bài báo đã đưa ra được một số đặc trưng của lớp các môđun tựa nội xạ linh đồng thời một số kết quả được suy ra từ các đặc trưng này.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một số đặc trưng của môđun tựa nội xạ linhMỘT SỐ ĐẶC TRƯNGCỦA MÔĐUN TỰA NỘI XẠ LINHLƯƠNG THỊ MINH THỦYTrường Đại học Sư phạm - Đại học HuếTóm tắt: Một môđun M được gọi là tựa nội xạ linh nếu cho mỗi m ∈N il(M ) và mỗi đồng cấu f : mR → M , thì tồn tại một đồng cấuf¯ : M → M sao cho f¯(x) = f (x) với mọi x ∈ mR. Đây là lớp môđunđược xây dựng dựa trên định nghĩa về tích của hai môđun con và đượcxem là một trong những trường hợp tổng quát của lớp môđun P -nội xạ.Bài báo đã đưa ra được một số đặc trưng của lớp các môđun tựa nội xạlinh đồng thời một số kết quả được suy ra từ các đặc trưng này.Từ khóa: Môđun tựa nội xạ linh1 GIỚI THIỆUTrong bài báo này, vành R đã cho luôn được giả thiết là vành kết hợp có đơn vị1 6= 0 và mọi R-môđun được xét là môđun unita. Với vành R đã cho, viết MR (R M )để chỉ M là một R-môđun phải (t.ư, trái). Trong một ngữ cảnh cụ thể của bài báo,khi không sợ nhầm lẫn về phía của môđun, để đơn giản chúng ta viết môđun Mthay vì MR . Chúng ta dùng các ký hiệu A ≤ M (A < M ) để chỉ A là môđun con(t.ư., thực sự) của M . Nếu A là môđun con cực đại (hạng tử trực tiếp) của môđunM , chúng ta viết A ≤max M (t.ư., A ≤⊕ M ). Căn Jacobson, đế của môđun M đượcký hiệu tương ứng là Rad(M ) và Soc(M ), đặc biệt, J(R) được dùng để ký hiệu chocăn Jacobson của vành R. Chúng ta viết Mn (R) để chỉ vành các ma trận vuông cấpn với hệ tử trên vành R. Nếu I là một tập hợp với card(I) = α và M là một môđun,chúng ta sẽ ký hiệu tổng trực tiếp α bản sao của M bởi M (I) hoặc M (α) , tích trựctiếp α bản sao của M bởi M I hoặc M α . Chúng ta ký hiệu Mod-R (R-Mod) là phạmtrù các R-môđun phải (t.ư., trái). Cho M và N là các R-môđun phải. Đồng cấu từM đến N được hiểu là đồng cấu từ R-môđun phải M đến R-môđun phải N .Cho M là một R-môđun phải và tập ∅ 6= X ⊂ M . Linh hóa tử phải của X trong Rđược ký hiệu là rR (X) và được xác định như saurR (X) = {r ∈ R | xr = 0 (∀x ∈ X)}.Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm HuếISSN 1859-1612, Số 03(31)/2014: tr.14-21MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA MÔĐUN TỰA NỘI XẠ LINH15Khi không sợ nhầm lẫn chúng ta có thể viết gọn là r(X) thay vì rR (X). Khi X ={x1 , x2 , . . . , xn } thì chúng ta viết r(x1 , x2 , . . . , xn ) thay vì r({x1 , x2 , . . . , xn }). Ta córR (X) là một iđêan phải của vành R. Hơn nữa, nếu X là môđun con của M thì r(X)là một iđêan (phải và trái) của R. Linh hóa tử trái của X trong R được ký hiệu làlR (X) và được định nghĩa tương tự.Năm 2007, Wei và Chen ([3]) đã đưa ra một trường hợp tổng quát của môđun P-nộixạ đa là môđun nội xạ linh, theo đó một môđun M được gọi là nội xạ linh nếu chomỗi phần tử lũy linh a của R và mỗi đồng cấu f : aR → M , thì tồn tại một đồngcấu f¯ : RR → M sao cho f¯(x) = f (x) với mọi x ∈ aR. Một cách tự nhiên, năm 2011nhóm tác giả Lương Thị Minh Thủy và Trương Công Quỳnh đã đưa ra khái niệmmôđun tựa nội xạ linh và một số đặc trưng. Tác giả tiếp tục nghiên cứu, chứngminh được một số đặc trưng nữa của lớp môđun này, và đây chính là nội dung củabài báo.2 KẾT QUẢTheo [1], Lomp đã định nghĩaH ? K := ϕ(φ × 1M )(H, K) = ϕ(Hom(M, H), K) = Hom(M, H)K=X{f (K)| f ∈ Hom(M, H)}.Từ đó chúng tôi định nghĩa:Định nghĩa 2.1. Cho H, K là các môđun con của M . Khi đó H ? K được gọi làtích của hai mô đun con của H và K và được ký hiệu là HK.Cho N là một môđun con của M và n ∈ N. Chúng ta xác định các môđun con củaN như sau:N 1 = N, N 2 = N N, N 3 = N 2 N, . . . , N n = N n−1 N.Khi đó chúng ta cóN n ≤ N n−1 ≤ · · · ≤ N 2 ≤ N 1 = N.Môđun con N được gọi là lũy linh nếu tồn tại n ∈ N sao cho N n = 0. Chúng ta kýhiệuN il(M ) = {m ∈ M | mR là lũy linh }Dựa trên định nghĩa tích hai môđun con chúng ta có định nghĩa về môđun tựa nộixạ linh như sau:16LƯƠNG THỊ MINH THỦYĐịnh nghĩa 2.2. Một môđun M được gọi là tựa nội xạ linh nếu cho mỗi m ∈ N il(M )và mỗi đồng cấu f : mR → M , thì tồn tại một đồng cấu f¯ : M → M sao chof¯(x) = f (x) với mọi x ∈ mR, nghĩa là biểu đồ sau giao hoán:Mp6Ip p f¯ppfpp0-mRipp- Mvới i : mR → M là đơn cấu chính tắc.Vành R được gọi là tự nội xạ linh phải nếu RR là tựa nội xạ linh.Ví dụ 2.3. Đặt R = Z vành các số nguyên. Khi đó đó R là tựa nội xạ linh, nhưngkhông là tựa nội xạ chính.Định lý 2.4. Các điều kiện sau là tương đương với môđun M và S = End(M ):(1) M là tựa nội xạ linh.(2) lM (r(m)) = Sm với mọi m ∈ N il(M )(3) Nếu r(m) ≤ r(m0 ) với mỗi m ∈ N il(M ), m0 ∈ M , thì Sm0 ≤ Sm.Chứng minh. (1) ⇒ (2). Cho m ∈xác định bởi f (mr) = xr với mọi rtồn tại một đồng cấu f¯ : M → Mx = f (m) = f¯(m) ∈ Sm. Từ đó suyN il(M ) và x ∈ lM (r(m)). Xét f : mR → M∈ R. Khi đó f là một đồng cấu. Theo (1), thìsao cho f¯(y) = f (y) với mọi y ∈ mR. Suy rara lM (r(m)) = Sm.(2) ⇒ (3) là hiển nhiên.(3) ⇒ (1). Cho mỗi m ∈ N il(M ) và mỗi đồng cấu f : mR → M . Khi đó r(m) ≤r(f (m)). Suy ra tồn tại f¯ ∈ S sao cho f (m) = f¯(m). Vậy M là tựa nội xạ linh.Tiếp theo chúng ta có một tính chất khác của môđun tựa nội xạ linh:Mệnh ...