Các đặc trưng của PC2 − môđun

Bài viết Các đặc trưng của PC2 − môđun đưa ra một số đặc trưng của môđun thỏa mãn điều kiện PC2 , còn gọi là PC2 - môđun. Tác giả cũng đã chỉ ra rằng mỗi môđun thỏa mãn điều kiện C2 thì thỏa mãn điều kiện PC2 và mỗi môđun thỏa mãn điều kiện PC2 cũng thỏa mãn điều kiện C3.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Các đặc trưng của PC2 − môđun 58 Trương Thị Thúy Vân CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA PC 2 − MÔĐUN SOME CHARACTERIZATIONS OF PC 2 − MODULES Trương Thị Thúy Vân1,2* 1 Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng 2 Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Vĩnh Long *Tác giả liên hệ: vanttt@vlute.edu.vn (Nhận bài: 20/12/2022; Chấp nhận đăng: 20/3/2023) Tóm tắt - Xét môđun M thỏa mãn điều kiện: “Nếu với mọi A, B Abstract - Considering module M to satisfy the condition: là các môđun con của M sao cho A  B, A là hạng tử trực tiếp “Whenever A and B are submodules of M with A  B, and A của M A  M thì B cũng là một hạng tử trực tiếp của M ” và is a direct summand of M A  M then B is a direct summand of gọi điều kiện này là PC 2. Trong bài báo này, tác giả đưa ra một M ” and the author call this condition is PC 2. In this paper, we give số đặc trưng của môđun thỏa mãn điều kiện PC 2 , còn gọi là some characterizations of the module to satisfy the condition PC 2 PC 2 -môđun. Môđun M là PC 2 -môđun khi và chỉ khi với mỗi also known as the PC 2 -module. Module M is a PC 2 -module if R -đơn cấu  : P → M , trong đó P là một hạng tử trực tiếp của and only if an R -monic  : P → M where P is a direct summand M P  M và P  M   1M thỏa mãn  ( M ) = P thì tồn tại of M P  M and P  M   1M satisfies  ( M ) = P , exists   End (M ) sao cho    = 1P . Tác giả cũng đã chỉ ra rằng   End (M ) with    = 1P The author also show that each mỗi môđun thỏa mãn điều kiện C 2 thì thỏa mãn điều kiện PC 2 module satisfying condition C 2 satisfies condition PC 2 and every và mỗi môđun thỏa mãn điều kiện PC 2 cũng thỏa mãn điều kiện module satisfying condition PC 2 also satisfies condition C 3. At C 3. Đồng thời, bài báo cũng đề cập đến một số đặc trưng của the same time, the article also mentions some characterizations of vành PC 2 Vành R là vành PC 2 phải khi và chỉ khi mọi đẳng PC 2 ring. R is a right PC 2 ring if and only if every R - cấu aR → eR , a  R , e2 = e  R, e  1 đều mở rộng đến R isomorphism aR → eR , a  R , e2 = e  R, e  1, extends to R Từ khóa - PC 2 -môđun; C 2 -môđun; C 3 − môđun Key words - PC 2 -module; C 2 -module; C 3 − module 1. Giới thiệu vấn đề C 3 ([2]). Các kết quả của họ đã đóng góp cho sự phát Khái niệm môđun nội xạ được Baer giới thiệu đầu tiên triển của lý thuyết vành và môđun. Trong bài báo này, tác vào năm 1940. Những năm sau đó, khái niệm này và các giả xét thêm giả thiết A  M trong điều kiện C 2 và gọi khái niệm mở rộng của nó đã nhận được sự quan tâm là điều kiện PC 2 : nếu với mọi A, B là các môđun con nghiên cứu của nhiều tác giả trong và ngoài nước. Nhiều của M sao cho A  B, A là hạng tử trực tiếp của M , tác giả đã nghiên cứu cấu trúc vành và các lớp môđun liên A  M thì B cũng là hạng tử trực tiếp của M . Môđun quan thông qua các điều kiện C1, C 2, C3 ([1], [2], [3], M được gọi là PC 2 − môđun nếu M thỏa mãn điều kiện [4]). Theo đó, điều kiện C1, C 2, C3 như sau: PC 2. Vành R được gọi là vành PC 2 phải nếu RR là C1 : Mọi môđun con của M đều cốt yếu trong một PC 2 − môđun. Mục đích nghiên cứu trong bài báo là hạng tử trực tiếp của M . nghiên cứu mối liên hệ giữa môđun thỏa mãn điều kiện C 2 : Nếu A và B là các môđun con của M , A  B PC 2 với môđun thỏa mãn điều kiện C 2 , C 3 ; Làm rõ và A là hạng tử trực tiếp của M thì B cũng là hạng tử trực đặc trưng của môđun PC 2 và vành PC 2. Tác giả đã tiếp của M . chứng minh được mọi môđun thỏa mãn điều kiện PC 2 C 3 : Nếu A và B là các hạng tử trực tiếp của M và thì cũng thỏa mãn điều kiện C3, mỗi C 2 − môđun là A  B = 0 thì A  B cũng là một hạng tử trực tiếp của M . PC 2 − môđun và hạng tử trực tiếp của PC 2 − môđun Môđun M được gọi là C 2 − môđun nếu thỏa mãn cũng là PC 2 − môđun; Đồng thời đưa ra các điều kiện điều kiện C 2. Môđun M được gọi là C 3 − môđun nếu tương đương của PC 2 − môđun. Các điều kiện tương thỏa mãn điều kiện C 3. Trong các tác giả nghiên cứu đương của vành PC 2 được trình bày trong Mệnh đề 9. thành công nhất về môđun thỏa mãn điều kiện Hơn nữa, nếu R là vành PC 2 phải thì eRe cũng là vành C1, C 2, C3 phải kể đến Utumi, Yousif, Oshiro,... Họ đã PC 2 phải với e  R, e  1 là phần tử lũy đẳng thỏa mãn đưa ra nhiều đặc trưng của các lớp vành cổ điển thông qua điều kiện ReR = R. Việc nghiên cứu điều kiện PC 2 có các điều kiện C1, C 2, C3 . Tác giả Utumi đã chứng minh ý nghĩa quan trọng trong việc nghiên cứu lý thuyết vành vành tự nội xạ thỏa mãn cả 3 điều kiện C1, C 2, C3 ([4]). và môđun. Điều này tạo nên động lực thúc đẩy các nhà ...