Về một lớp các dãy số nguyên bị chặn

Bài viết tập trung chứng minh tính bị chặn của một lớp các dãy số nguyên và đưa ra các áp dụng trong lý thuyết dãy số, phương trình sai phân.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Về một lớp các dãy số nguyên bị chặnCHÀO MỪNG NGÀY THÀNH LẬP TRƯỜNG 01/4/2018 VỀ MỘT LỚP CÁC DÃY SỐ NGUYÊN BỊ CHẶN ON A CLASS OF BOUNDED INTEGER SEQUENCES HOÀNG VĂN HÙNG Khoa Cơ sở Cơ bản, Trường ĐHHH Việt NamTóm tắt Tác giả chứng minh tính bị chặn của một lớp các dãy số nguyên và đưa ra các áp dụng trong lý thuyết dãy số, phương trình sai phân. Từ khóa: Dãy số nguyên, tính bị chặn, sự hội tụ, phương trình sai phân.Abstract The author proved the boundedness of some integer sequences and showed several applications in theory of number sequences, difference equation theory. Keywords: Integer sequence, boundedness, convergence, difference equation.1. Đặt vấn đề Một dãy số nguyên là một dãy số mà tất cả các phần tử của nó đều là các số nguyên. Nhiềudãy số nguyên quan trọng là nghiệm của các phương trình sai phân (ví dụ: dãy Fibonacci, dãyLucas, xem [2], [3]). Vì vậy, một dấu hiệu bị chặn hoặc hội tụ đối với các dãy số nguyên có thểứng dụng để giải một số bài toán trong lý thuyết các dãy số, nghiên cứu nghiệm nguyên của cácphương trình sai phân.2. Kết quả chính Dưới đây, với hai véc tơ ( x1 , y1 , z1 ), ( x2 , y2 , z 2 )  R3, ký hiệu: ( x1 , y1 , z1 )  ( x2 , y2 , z2 ) nghĩa là x1  x2 , y1  y2 , z1  z 2 . Kết quả chính của bài báo là các định lý sau: Định lý 1: Giả sử F ( x, y, z) là hàm thực ba biến được xác định với mọi giá trị nguyên củax, y, z và có các tính chất: i) Tồn tại các số thực A, B ( A  B) và số nguyên dương a0 sao cho: F (a, a,a)  A và F (a,a, a)  B với mọi số nguyên a  a0 ; ii) F (a1 , b1 , c1 )  F (a2 , b2 , c2 ) khi a1 , a2 , b1 , b2 , c1 , c2 là các số nguyên thỏa mãn: (a1 , b1 , c1 )  (a2 , b2 , c2 ) . Khi đó, nếu dãy số nguyên xn n1 thỏa mãn bất đẳng thức kép: A  F ( xn , xn1 , xn 2 )  B (1) với mọi giá trị nguyên dương đủ lớn của chỉ số n , thì tất cả các phần tử của dãy xn n1  1 thì dãy xn n1 (ngoại trừ một số hữu hạn phần tử) đều nằm trong khoảng (a0 , a0 ) . Nếu a0hội tụ về 0. Để chứng minh định lý 1 chúng ta cần bổ đề: Bổ đề: Giả sử F ( x, y, z) là hàm ba biến có các tính chất i)-ii) trong định lý 1. Khi đó: Nếu x, y, k (k  a0 ) là các số nguyên thỏa mãn F ( x, y,k )  A thì maxx, y  k  1 ; Nếux, y, k (k  a0 ) là các số nguyên thỏa mãn F ( x, y, k )  B thì min x, y  k  1 . Chứng minh. Dùng lý luận phản chứng. Giả sử trái lại rằng tồn tại các số nguyên x, y, k (k  a0 ) thỏa mãn F ( x, y,k )  A nhưngmaxx, y  k  1 . Vì x, y là các số nguyên nên ta có x  k , y  k . Từ tính chất ii) và tính chất i)của hàm F ( x, y, z) suy ra: F ( x, y,k )  F (k , k ,k )  A . Mâu thuẫn. Vậy phải có maxx, y  k  1 . Khẳng định còn lại được chứng minh tương tựbằng lý luận phản chứng và sử dụng các tính chất của hàm F ( x, y, z) . Chứng minh định lý 1Tạp chí Khoa học Công nghệ Hàng hải Số 54 - 4/2018 81 CHÀO MỪNG NGÀY THÀNH LẬP TRƯỜNG 01/4/2018 Giả sử trái lại rằng dãy xn n1 có vô số phần tử xn thỏa mãn xn  a0 . Khi đó, với mọi sốnguyên dương n lớn tùy ý, luôn tìm được số nguyên dương mn  n sao cho xm  a0 . Nếu cần, nbỏ đi một số (hữu hạn) đủ lớn các phần tử đầu tiên của dãy xn n1 , ta có thể xem (1) được thỏamãn với mọi n  1 . Giả sử n  1 là số sao cho xn2  k  a0 . Nếu xn2  k , thì áp dụng (1) ta có: F ( xn , xn 1 , k )  B (2) Từ (2) và bổ đề ta suy ra min xn , xn1   k  1 . Nếu xn 2   k , thì áp dụng (1) ta có: F ( xn , xn1 ,k )  A (3) Từ (3) và bổ đề ta suy ra maxxn , xn1   k  1 . Tổng hợp các kết quả nhận được trong lý luận ở trên ta suy ra nếu xn2  k  a0 thìmaxxn , xn1  k 1 . Nói cách khác, nếu xm  a0 (m  3) thì ít nhất một trong hai số của dãyxn n1 đứng ngay trước x m sẽ có trị tuyệt đối  xm  1  a0  1 . Đặt L  maxx1 , x2 , x3 . Gọi n0 là số nguyên dương sao cho n0  2 L  3 và m  n0 làsố sao cho xm  a0 .Từ kết luận vừa nhận được suy ra rằng ít nhất một trong 3 số x1 , x2 , x3 sẽ m2 2L  1không bé hơn x m   a0   a0  L  L  max x1 , x2 , x3 . Mâu thuẫn. Vậy dãy 2 2xn n1 không thể có vô số phần tử x n thỏa mãn xn  a0 . Nếu a0  1 thì một dãy số nguyên xn n1 chỉ có một số hữu hạn các phần tử thỏa mãn xn  1 rõ ràng phải hội tụ về 0. Định lý được chứngminh hoàn toàn. Định lý 2: Giả sử hàm F ( x, y, z) và dãy xn n1 thỏa mãn tất cả các điều kiện trong định  lý 1. Với a 0  2 , dãy xn n1 sẽ hội tụ về 0 nếu hàm F ( x, y, z) thỏa mãn thêm các điều kiệnsau: a) F ...