Giáo trình Toán cao cấp: Phần 2 (Dùng cho sinh viên học các hệ Kinh tế)

Giáo trình "Toán cao cấp" được biên soạn dành cho sinh viên học các hệ Kinh tế. Giáo trình được chia thành 10 chương, phần 2 này gồm 4 chương, cung cấp cho học viên những kiến thức về: hàm hai biến; phép tính tích phân; phương trình vi phân; phương trình sai phân; phương trình tuyến tính thuần nhất cập k hệ số hằng; một vài ứng dụng của phương trình sai phân;... Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Toán cao cấp: Phần 2 (Dùng cho sinh viên học các hệ Kinh tế) Chương 7 Hàm hai biến Trong chương này ta sẽ phân tích sự phụ thuộc của một biến, chẳng hạn z theo hai biến khác, chẳng hạn x và y. 7.1 Các khái niệm mở đầu Hệ tọa độ, tập điểm, hàm số. Cho xOy là một hệ toạ độ trong không gian R2 . Để đơn giản, ta lấy đó là một hệ toạ độ trực chuẩn (hệ toạ độ vuông góc, đơn vị trên hai trục dài bằng nhau). • Khoảng cách giữa hai điểm M1 (x1 , y1 ) và M2 (x2 , y2 ) trong không gian R2 được kí hiệu là M1 M2 và xác định bởi p M1 M2 := (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 . • Tập các điểm của R2 , cách một điểm M0 cố định nhỏ hơn một số r > 0 cho trước gọi là một hình tròn mở tâm M0 , bán kính r. Mỗi hình tròn mở như vậy được gọi là một lân cận của điểm M0 . • Một miền trong mặt phẳng được hiểu là một tập liên thông, nghĩa là bất kỳ hai điểm nào của tập đó cũng có thể nối được với nhau bởi một đường cong liên tục gồm các điểm nằm hoàn toàn trong tập hợp đó. • Một tập hợp gọi là giới nội nếu tồn tại một hình tròn tâm O, có bán kính hữu hạn chứa nó. 167 • Điểm M gọi là điểm trong của tập E nếu tồn tại một lân cận của điểm M nằm hoàn toàn trong E. Tập các điểm trong của E gọi là phần trong của E. • Tập E gọi là mở nếu mọi điểm của E đều là điểm trong. • Điểm N được gọi là điểm biên của tập E nếu mọi lân cận của điểm N đều chứa ít nhất một điểm thuộc E và một điểm không thuộc E. Tập hợp tất cả những điểm biên của tập E được gọi là biên của E. • Tập E được gọi là đóng nếu nó chứa tất cả các điểm biên. • Dễ thấy tập E là đóng thì tập bù của nó trong không gian chứa nó là mở và ngược lại. Định nghĩa hàm hai biến Định nghĩa 7.1 Cho tập E trên Oxy. Một quy luật f , đặt tương ứng mỗi cặp giá trị (x, y) ∈ E của các biến x; y với một và chỉ một giá trị của biến z bởi đẳng thức z = f (x, y) gọi là một hàm của hai biến độc lập x và y. z gọi là biến hàm hay biến phụ thuộc. Tập E gọi là tập xác định. Tập f (E) := {z = f (x, y) : (x, y) ∈ E} gọi là tập giá trị. Ta cũng dùng cách kí hiệu sau để mô tả quan hệ hàm nói trên: f : E → R : (x, y) 7→ z = f (x, y). Chú ý. Phép tương ứng có thể được cho bởi một công thức giải tích. Trong trường hợp đó, tập xác định của hàm là tập các điểm (x, y) sao cho tất cả các phép tính trong công thức đó đều có nghĩa. Đồ thị của hàm hai biến. Cho hàm z = f (x, y) xác định trên tập E ⊆ (Oxy). Tập các điểm {(x, y, f (x, y)) : (x, y) ∈ E} trong hệ tọa độ Oxyz của không gian ba chiều gọi là đồ thị của hàm số đó. Đồ thị của các hàm hai biến thường là các mặt cong trong không gian. Để dễ hình dung về đồ thị đôi khi người ta phác hoạ nó trên mặt phẳng. Việc dùng một mặt phẳng để biểu diễn một cách chính xác một mặt không gian là không thể. Hình vẽ biểu thị mặt cong đồ thị chỉ là một cách vẽ mô phỏng, giúp ta có thêm một góc độ nhìn nhận về đồ thị đó mà thôi. Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 7.1 Phác hoạ đồ thị hàm hai biến sau. p z = 1 − x2 − y 2 . 168 Lời giải. Hàm số xác định với mọi x, y thoả mãn điều kiện 1 − x2 − y 2 ≥ 0 ⇔ x2 + y 2 ≤ 1 Như vậy tập xác định của hàm là hình tròn đóng tâm O bán kính đơn vị trên mặt phẳng Oxy. Ta có: ( p x2 + y 2 + z 2 = 1 z = 1 − x2 − y 2 ⇔ z ≥ 0. Vậy, đồ thị của hàm là nửa mặt cầu tâm O bán kính đơn vị ở về phía z ≥ 0. Ví dụ 7.2 Tìm tập xác định của hàm số 2x − 1 z = arccos + ln(xy). x Lời  giải. Tập xác định của hàm là những x, y thoả mãn điều kiện 2x − 1 ( ≤1 (2x − 1)2 ≤ x2  x ⇔ xy > 0 xy > 0  1 ≤ x ≤ 1 ( 2 3x − 4x + 1 ≤ 0 ⇔ ⇔ 3 xy > 0 y > 0. n 1 o Vậy, E = (x, y) : x ∈ [ ; 1], y ∈ (0; +∞) . 3 7.1.1 Giới hạn và tính liên tục của hàm hai biến Giới hạn bội và giới hạn lặp. Định nghĩa 7.2 Giả sử M0 (x0 , y0 ) là một điểm trong hoặc điểm biên của miền E ⊆ (Oxy). Cho hàm z = f (x, y) xác định trên miền E. Số thực L được gọi là giới hạn của f (x, y) khi M (x, y) dần tới M0 (x0 , y0 ) nếu với mọi  > 0 bé tùy ý luôn tìm được δ > 0 đủ bé sao cho với (x, y) ∈ E: p 0 < (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < δ ⇒ |f (x, y) − L| < . Giới hạn này gọi là giới hạn bội của f (x, y) trong quá trình (x, y) → (x0 , y0 ) 169 và nó được kí hiệu như sau: ...