Về phương trình mobile-immobile phân thứ với điều kiện đầu không địa phương

Ta chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho hệ vi phân mobile-immobile khi phần phi tuyến có thể tăng trưởng trên tuyến tính. Kết quả đóng góp một phần nhỏ cho lí thuyết hệ vi phân phân thứ và làm tiền đề cho nghiên cứu tiếp theo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Về phương trình mobile-immobile phân thứ với điều kiện đầu không địa phương Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2023. ISBN: 978-604-82-7522-8 VỀ PHƯƠNG TRÌNH MOBILE-IMMOBILE PHÂN THỨ VỚI ĐIỀU KIỆN ĐẦU KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG Nguyễn Văn Đắc, Lê Thị Minh Hải Trường Đại học Thủy lợi, email: nvdac@tlu.edu.vn 1. GIỚI THIỆU CHUNG 3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Trong bài báo này, chúng tôi xét hệ sau: 3.1. Kiến thức chuẩn bị  t u   t  g1  (u  u (0)    u  f (t , u  ) (1) a) Toán tử nghiệm và giả thiết: Gọi l là u   0 (2) nghiệm của l   g1 * l  1 trên [0, ) và xét: u ( s )  h(u )( s )   ( s ), s  [  q,0] (3) s (t )    l  s  (t )  1, t  0 với u (t )  u (t , x) , 0  t  T , x   là miền bị r (t )    l  r  (t )  l (t ), t  0. chặn có biên trơn trong  d , d  1 , tích chập Các phương trình này có nghiệm duy nhất, t ta kí hiệu các nghiệm là s (,  ), r (,  ) . hiểu như sau k  (t )   k (t  s)( s )ds, và: 0 Mệnh đề 2.2 trong [3] đã trình bày các tính t  chất quan trọng của các nghiệm này. Ta xét g1  ,    0,1 ,  ,   0 . L2    với cơ sở gồm các hàm riêng trực (1   ) Năm 2003, R. Chumer đã giới thiệu hệ giao {en }1 của  với điều kiện biên n phương trình dạng trên trong tạp chí về tài Dirichlet thuần nhất và dãy giá trị riêng nguyên nước và gọi là hệ Mobile-Immobile, {n }1 thỏa 0  1  2   ,lim n   . Khai n n  xem thêm trong [3]. Dạng đơn giản hơn đã triển theo hệ cơ sở trên, ta được công thức được nghiên cứu trong [3], sự xuất hiện của nghiệm dựa theo hai toán tử: trễ u (t )  u  t   (t )  và điều kiện đầu phụ  thuộc vào phép đo bổ sung đem lại phạm vi S (t )v   s (t , n )vn en , t  0, v  L2    , n 1 áp dụng rộng rãi nên thu hút được nhiều nhà  toán học quan tâm (xem [1,2]), một ví dụ cho R (t )v   r (t , n )vn en , t  0, v  L2    . hàm h như sau: n 1 Định nghĩa 1. Hàm u  C [  q, T ]; L2 ()  m h(u)(s)( x)   ciu(s  si , x), s [  q,0], si [0, T ] i 1 được gọi là một nghiệm của bài toán (1)-(3) ở đó ci, m là các hằng số, các giá trị đo bổ nếu: sung được thực hiện tại các si , i  {1, 2,..., m} u (t )  h(u )(t )   (t ), t  [  q,0] , và giá trị của nó phụ thuộc vào lịch sử của trạng thái. Do đó chúng tôi đặt vấn đề nghiên và u  t   S (t )  (0)  h(u )(0)   I (t ), t   0, T  cứu về sự tồn tại nghiệm của bài toán. t với I (t )   R (t   ) f  , u (   ( )  d , t  [0, T ]. 0 2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Kí hiệu Cq  C [  q,0]; L2 ()  , và   cho Dùng ước lượng tiên nghiệm và nguyên lí điểm bất động cho ánh xạ nén. chuẩn trong C  J ; L2 ()  với J là một đoạn. 60 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2023. ISBN: 978-604-82-7522-8 Ta cần giả thiết sau đây cho tính giải được. Đặt   ch  supt0,T   r (, 1 ) * a  (t ) ,  (F) Hàm liên tục f :   L ()  L () 2 2 Vì   1 nên chọn được 0    1 1    , thỏa f (t , v)  a(t ) v    v  , t  0,v  L2 () (r )  o(r ), r  0 cho ta sự tồn tại của trong đó a  Lloc (  ),  là hàm tăng trưởng   0 thỏa f (t , v)  (a (t )   ) v , khi v   . trên tuyến tính thỏa mãn (r )  o(r ), r  0 . Với u    và     thì: u  t   (t )    với t   0, T  (H) Hàm liên tục h : C [  q, T ]; L2 ()   Cq nên ta có: thỏa ...