Luận văn Thạc sĩ Toán học: Các phương pháp nghiên cứu định lí Krasnoselskii về điểm bất động trong nón

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Các phương pháp nghiên cứu định lí Krasnoselskii về điểm bất động trong nón trình bày hai phương pháp nghiên cứu định lý Krasnoselskii về ánh xạ nén hoặc giãn mặt nón, đó là phương pháp sử dụng bậc Topo và phương pháp sử dụng định lý Schauder. Ngoài ra luận văn cũng giới thiệu ứng dụng của định lý và các mở rộng của nó để chứng minh sự tồn tại nghiệm dương của các phương trình tích phân.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Các phương pháp nghiên cứu định lí Krasnoselskii về điểm bất động trong nón THƯ BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH VŨ HUỲNH PHƯƠNG THẢO CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU ĐỊNH LÍ KRASNOSELSKII VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG NÓNChuyên ngành: GIẢI TÍCHMã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. TS. NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh – 2010 BẢNG CÁC KÍ HIỆU ĐÃ SỬ DỤNGN Tập hợp các số tự nhiên.N* Tập hợp các số tự nhiên khác 0.R Tập hợp các số thực.R Tập hợp các số thực không âm. Biên của  . Bao đóng của  .( X ,| . |) Không gian Banach X với chuẩn |.|.Lp [a, b] Không gian các hàm đo được trên đoạn [a, b]xp Chuẩn của x trên không gian LpC[ a , b ] Không gian các hàm số thực liên tục trên đoạn [a, b]C [a, b], E  Không gian các hàm liên tục u :[a, b]  E Kết thúc chứng minh. MỞ ĐẦU Lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự được hình thành từ những năm 1940, phát triểnmạnh mẽ vào những năm 1960–1970 và được hoàn thiện cho đến ngày nay. Lý thuyết này tìm đượcnhững ứng dụng rộng rãi và sâu sắc trong nhiều lĩnh vực như Lý thuyết phương trình vi phân, vật lí,sinh học, kinh tế …. Trong lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự thì định lí Krasnoselskii về điểm bất độngcủa ánh xạ nén hoặc giãn một mặt nón đóng vai trò rất quan trọng. Vai trò của định lí này cũng tươngtự các định lí Banach về ánh xạ co và định lí Schauder trong lí thuyết điểm bất động. Nó được sử dụngđể chứng minh sự tồn tại nghiệm của nhiều lớp phương trình vi phân và tích phân. Vì sự quan trọngcủa nó, định lí Krasnoselskii được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm, tìm cách mở rộng, để có thể ápdụng cho các lớp phương trình mới. Cho đến nay, định lý này đã được mở rộng theo nhiều hướng khácnhau và là một trong những công cụ chủ yếu để chứng minh sự tồn tại nghiệm dương của nhiều lớpphương trình vi phân và tích phân.Chứng minh ban đầu của Định lý Krasnoselskii dựa trên định lýSchauder, khá phức tạp và dài. Với việc xây dựng khái niệm bậc topo theo nón cho ánh xạ dượng thìđịnh lý Krasnoselskii được chứng minh đơn giản hơn rất nhiều và việc mở rộng định lý cũng trở nênthuận lợi hơn. Tuy nhiên việc sử dụng định lý Schauder để nghiên cứu Định lý Krasnoselskii vẫn còn ýnghĩa trong một số trường hơp, ví dụ khi cần trình bày định lý này một cách độc lập với việc dùng bậctopo. Luận văn trình bày hai phương pháp nghiên cứu Định lý Krasnoselskii về ánh xạ nén hoặc giãn mặtnón, đó là phương pháp sử dụng bậc topo và phương pháp sử dụng Định lý Schauder. Ngoài ra luậnvăn cũng giới thiệu ứng dụng của Định lý và các mở rộng của nó để chứng minh sự tồn tại nghiệmdương của các phương trình tích phân.Chuơng 1: PHƯƠNG PHÁP BẬC TÔPÔ NGHIÊN CỨU ĐỊNH LÍ KRASNOSELSKII1.1 Không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón.Định nghĩa 1.1.1.1. Tập K trong không gian Banach thực X gọi là nón nếu: (i) K là tập đóng. (ii) K  K  K ,  K  K ,   0 . (iii) K  ( K )  {0} .2. Nếu K là nón thì thứ tự trong X sinh bởi K được định bởi: x  y  y  xK Mỗi x  K {0} được gọi là dương.Mệnh đề 1.1.2. Giả sử “≤” là thứ tự sinh bởi nón K . Khi đó:1. x  y  x  z  y  z,  x   y z  K ,   0 .2.  xn  yn (n  N *), lim xn  x, lim yn  y   x  y .3. Nếu xn là dãy tăng, hội tụ về x thì xn  x, n  N * .Chứng minh mệnh đề 1.1.2.1. Sử dụng thứ tự “≤” sinh bởi nón và tính chất (ii) trong định nghĩa 1.1.1.2. Ta có lim( yn  xn )  y  x mà yn  xn  K  y  x  K (tính chất đóng của K ). n 3. Cho m   trong bất đẳng thức xn  xn  m ta có xn  x, n  N .1.2 Bậc tôpô theo nón. Trước khi đi vào định nghĩa bậc tôpô theo nón, ta nhắc lại cách xây dựng bậc tôpô trong không gianhữu hạn chiều và không gian vô hạn chiều.Bậc tôpô trong không gian hữu hạn chiều. A Cho G là tập mở bị chặn trong không gian R n , A : G  R n , A  C1 (G ) . Ta nhắc lại rằngA  C1 (G ) khi và chỉ khi A khả vi tại mọi điểm x0  G và A : G  L( R n ; R n ) liên tục. Hơn nữaA  C1 (G ) khi và chỉ khi có tập E  G , E mở, có A  C1 (G ) và A |G  A .Định nghĩa 1.2.1. Cho A  C1 (G ) , ta gọi x là điểm tới hạn của A nếu det A ( x)  0 , A( x) gọi là giátrị tới hạn của A . Tập hợp các điểm tới hạn của A trên G kí hiệu là Z A (G ) hay Z A . Tập hợp các giátrị tới hạn A  Z A  được gọi là nếp của A .Định lý 1.2.2. Nếu A  C1 (G ) và p  A( Z A ) thì A1 ( p ) chứa hữ ...