Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Một số vấn đề về phần xoắn của đường cong elliptic

Nội dung chính của luận văn là phân loại phần xoắn của một số họ đã biết và bổ sung những phân loại còn thiếu theo danh sách của D.S. Kubert (là danh sách (K) trong chương 2). Trong các phân loại đó song song với các chứng minh lý thuyết, tác giả sử dụng phần mềm đại số máy tính Sage để kiểm tra lại các kết quả.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Một số vấn đề về phần xoắn của đường cong elliptic ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN-CƠ-TIN HỌC LÊ VĂN NAM MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHẦN XOẮN CỦA ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC Chuyên nghành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Phó Đức Tài HÀ NỘI- 2014 Mục lục Mở đầu 4 1 Các khái niệm cơ bản về đường cong elliptic 6 1.1 Đường cong elliptic và nhóm aben trên nó . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Đường cong elliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Luật cộng trên đường cong elliptic . . . . . . . . . . 7 1.2 Điểm có cấp hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Điểm có cấp hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Định lý Nagell-Lutz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Phần xoắn của hai lớp đường cong elliptic . . . . . . . . . . 14 2 Một số phân loại đã biết theo danh sách của Kubert 18 2.1 Danh sách của Kubert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 Phân loại của K. Ono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Phân loại của Qiu - Zhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4 Nhóm con xoắn nhận được theo danh sách của Kubert . . 30 3 Bổ sung về phân loại theo danh sách của Kubert 32 3.1 Phần xoắn luôn chứa điểm cấp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.2 Phần xoắn luôn chứa điểm cấp 6 . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.3 Phần xoắn luôn chứa điểm cấp 4 . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.4 Phần xoắn luôn chứa điểm cấp 3 . . . . . . . . . . . . . . . 44 Kết luận 56 1 Tài liệu tham khảo 57 2 Lời cảm ơn Nhân dịp này, tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS.Phó Đức Tài, thầy đã trực tiếp hướng dẫn và tận tình chỉ bảo tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn cũng như trong suốt hai năm khi tôi bước vào học thạc sĩ thầy đã giành tâm huyết chỉ bảo cách tiếp cận và cách học đại số . Đồng thời, tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán-Cơ-Tin, trường Đại học Khoa học Tự Nhiên- Đại học Quốc gia Hà Nội, đã dạy bảo tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa. Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọi người đã quan tâm, tạo điều kiện và động viên cổ vũ tôi để tôi có thể hoàn thiện nhiệm vụ của mình. Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2014. Học viên Lê Văn Nam 3 Mở đầu Đường cong elliptic là một đối tượng quan trọng trong toán học. Lịch sử phát triển của đường cong elliptic đã trải qua một thời gian dài và những ứng dụng của đường cong elliptic đang tiếp tục được khám phá. Gần đây, những ứng dụng quan trọng của đường cong elliptic đã được phát hiện trong lý thuyết mật mã, trong phân tích các số nguyên lớn, trong việc giải các phương trình Diophante. Định lý Mordell-Weil phát biểu rằng nhóm các điểm hữu tỉ trên đường cong elliptic (E(Q), +) là một nhóm aben hữu hạn sinh, như vậy ∼ M E(Q) = T orsE(Q) Zr , trong đó phần xoắn T orsE(Q) là một nhóm hữu hạn và hạng r cũng hữu hạn. Hơn nữa, phần xoắn T orsE(Q) có thể xác định tường minh từ phương trình định nghĩa đường cong nhờ định lý Nagell-Luzt và định lý Mazur. Câu hỏi ngược lại là bài toán phân loại (hoặc tìm) các họ đường cong elliptic với nhóm xoắn cho trước. Nội dung chính của luận văn là phân loại phần xoắn của một số họ đã biết và bổ sung những phân loại còn thiếu theo danh sách của D.S. Kubert (là danh sách (K) trong chương 2). Trong các phân loại đó song song với các chứng minh lý thuyết, chúng tôi sử dụng phần mềm đại số máy tính Sage để kiểm tra lại các kết quả. Bố cục của luận văn được trình bày như sau: Chương 1: Các khái niệm cơ bản về đường cong elliptic. Chúng tôi trình bày tổng quan một số kiến thức cơ bản về đường cong 4 elliptic, định nghĩa các dạng đường cong elliptic, xây dựng luật cộng trên đường cong elliptic, chứng minh định lý Nagell-Luzt, chọn hai ví dụ trong đó có một ví dụ trình bày phân loại nhóm con xoắn. Chương 2: Một số phân loại đã biết theo dan ...