Véc tơ riêng của toán tử phi tuyến cực trị

Trong bài viết này trước hết chúng tôi đưa ra các định nghĩa: Toán tử lõm chính quy, toán tử cực trị, đạo hàm tiệm cận. Thứ hai chúng ta nghiên cứu một vài tính chất của đạo hàm tiệm cận và cuối cùng nghiên vê sự tồn tại véc tơ riêng của toán tử cực trị.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Véc tơ riêng của toán tử phi tuyến cực trị KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUI SỐ 59/2020 VÉC TƠ RIÊNG CỦA TOÁN TỬ PHI TUYẾN CỰC TRỊ Lê Thanh Tuyền Khoa Khoa học Cơ bản, Trường Đại học Công nghiệp Quảng Ninh Email: halongxanh82@gmail.com Tel: +84-xxxxxxxxxx; Mobile: 0989844610 Từ khóa: Tóm tắt Véc tơ riêng; Toán tử lõm Trong bài báo này trước hết chúng tôi đưa ra các định nghĩa: Toán tử lõm chính chính quy; Toán tử phi tuyến quy, toán tử cực trị, đạo hàm tiệm cận. Thứ hai chúng ta nghiên cứu một vài cực trị; Toán tử cực trị tính chất của đạo hàm tiệm cận và cuối cùng nghiên vê sự tồn tại véc tơ riêng của toán tử cực trị. 1. GIỚI THIỆU Nhận xét. Toán tử lõm chính quy có thể không có Trong toán học, vật lý và kỹ thuật có rất nhiều tính chất u0- đo được tức là có thể không là toán tử vấn đề mà việc giải quyết chúng đều dẫn đến việc lõm. xét bài toán tìm véctơ riêng và giá trị riêng của các Định nghĩa 4[1]. Toán tử A gọi là toán tử cực trị toán tử. Đặc biệt, M.A. Craxnoxenxki, I.A. Baxtin (hay đơn giản là cực trị), nếu: và nhiều nhà toán học khác đã đưa ra và xét các i) Toán tử A đơn điệu và dương trên nón K ; toán tử lõm. Tuy nhiên, một trong những điều kiện ii) Đối với dãy bất kì tăng, bị chặn trên và bị quan trọng nhất trong định nghĩa toán tử lõm lại chặn theo chuẩn ( xn )  K : nghĩa là: phức tạp, do đó, việc ứng dụng các kết quả đã đạt (u  K ) x1  x2  ...  xn ...  u , được theo hướng này gặp khó khăn đối với những lớp toán tử không thỏa mãn điều kiện kể trên nhưng  h   * xn  h    n  1, 2,... , lại có tính chất phổ dụng như toán tử lõm. Một đồng thời với dãy bất kì giảm, bị chặn dưới và bị trong những lớp toán tử như thế là lớp toán tử phi chặn theo chuẩn ( yn )  K , nghĩa là: tuyến cực trị.  v  K  y 1  y2  ...  yn  ...v  K , 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT     *  yn    (n  1,2,...) , 2.1 Các định nghĩa các phần tử sup( Axn ) , inf ( Ayn ) tồn tại và thuộc K . Định nghĩa 1[1]. E là một không gian Banach thực, n n  là véc tơ gốc của E. Ta nói, K là một nón của E Định nghĩa 5[1]. Toán tử tuyến tính liên tục Q gọi nếu : là đạo hàm tiệm cận của toán tử A trên nón K, nếu +) K là tập đóng, khác rỗng. W ( x) +) x, y  K , a, b  R, a, b  0  ax  by  K . Ax  Qx  W ( x) , trong đó xlim K , x  0. x +) K    K   { } 2.2 Tính chất của đạo hàm tiệm cận Ví dụ. Cho E  R và K  {( x, y)  R | x, y  0} 2 2 Định lí 1[2]. Nếu toán tử A dương trên nón K thì Khi đó K là một nón trên E. toán tử Q cũng dương trên nón K . Định nghĩa 2[1]. Cho E là một không gian Chứng minh Banach thực, K là một nón trên E. Ta có thể chỉ ra Với x  K \  ta có: A  Qx  W ( x)   (  được quan hệ “ SỐ 59/2022 KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUI    Qx   , x  K \   . Qx  Ax  t0 t x  1  c  A  q   1  c  0 Axq  1  c  x0 .    q  q  q Do Q   , nên Qx   x  K . □ Định lí 2[2]. Nếu A là toán tử lõm chính quy thì 1 Hay x0  Ax (1) Qx  Ax x  K . 1  c  q 0 Chứng minh 1 Định lí hiển nhiên đúng khi x   . * Ta chứng minh A1  A là toán tử lõm 1  c  q Giả sử x  K \  . Do A là toán tử lõm, nên ...