Bài giảng Chương 4: Ánh xạ tuyến tính

Bài giảng Chương 4: Ánh xạ tuyến tính sau đây giới thiệu tới các bạn về ma trận của ánh xạ tuyến tính như định nghĩa, tính chất, ma trận đổi cơ sở, ma trận đồng dạng; vec tơ riêng, giá trị riêng; chéo hóa ma trận. Với các bạn chuyên ngành Toán học thì đây là tài liệu hữu ích.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Chương 4: Ánh xạ tuyến tínhCHÀO MỪNG QUÝ THẦY CÔVỀ DỰ BUỔI DUYỆT GIẢNG LỚP K16 CĐSP TIN HỌC GV : THÂN VĂN ĐÍNH NỘI DUNG BÀI GIẢNG CHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNHIII. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 1. Định nghĩa 2. Tính chất 3. Ma trận đổi cơ sở, ma trận đồng dạng 4. Vec tơ riêng, giá trị riêng 5. Chéo hóa ma trận CHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH III. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH4. Vec tơ riêng, giá trị riênga. Đa thức đặc trưng 1 2� �Ø Tìm đa thức đặc trưng của ma trận : A = � � 0 � 1 � 1− λ 2 Kết quả : fA( ) = = (1 − λ ) 2 0 1− λ Ø Tìm đa thức đặc trưng của TTTT T : V V? B1 : Tìm ma trận biểu diễn của T là A B2 : Đa thức đặc trưng của T là : fT( ) = fA( ) CHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH III. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH4. Vec tơ riêng, giá trị riênga. Đa thức đặc trưng Đa thức đặc trưng của ma trận A là : fA ( ) = det(A - I) Đa thức đặc trưng của toán tử tuyến tính T là: fT ( ) = det(A - I) ( trong đó : A là ma trận của toán tử tuyến tính T) CHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNHIII. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH4. Vec tơ riêng, giá trị riêngb. Giá trị riêng, vec tơ riêngØ Cách tìm giá trị riêng Giải nghiệm của đa thức đặc trưng ta được GTRØ Cách tìm vectơ riêng ứng với giá trị riêng Nghiệm cơ bản của hpt thuần nhất ( A - I)[x] = 0 là vectơ riêng ứng với giá trị riêng CHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNHIII. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH4. Vec tơ riêng, giá trị riêngb. Giá trị riêng, vec tơ riêngVí dụ 1. Tìm GTR và VTR của toán tử T trên R3, biết T có ma trận biểu diễn là : �3 1 −1� � � A=�2 2 −1� �2 2 0 � � � Đa thức đặc trưng : fA( ) = ( - 1)( - 2) T có hai vectơ riêng là: = 1, = 2. CHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNHIII. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH4. Vec tơ riêng, giá trị riêng b. Giá trị riêng, vec tơ riêng Ví dụ 1. (tt) �2 1 −1� �x1 � �� 0 � � � � ��v Với = 1. Giải hệ �2 1 −1 �x2 �= �� � 0 �2 2 −1 � �x � ��0 � � �3 � �� Ta được một vetơ riêng là : v1 = (1, 0, 2)v Với = 2. Ta tìm được một vectơ riêng: v2 = (1,1,2)KL : T có hai vectơ riêng v1 = (1, 0, 2) và v2 = (1,1,2)tương ứng với hai giá trị riêng : = 1 và = 2 CHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNHIII. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH4. Vec tơ riêng, giá trị riêng c. Không gian con riêng Tập hợp tất cả các vectơ riêng của toán tử tuyến tính T ứng với giá trị riêng lập thành một không gian con riêng. Kí hiệu : V Vậy : V = { v V : f(v) = v }Ví dụ 2 : Tìm các không gian con riêng của T trong Ví dụ 1 ở trên ? KQ CHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNHIII. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH5. Chéo hóa ma trận, chéo hóa toán tử tuyến tính Điều kiện cần và đủ để một ma trận vuông hay một toán tử tuyến tính là chéo hóa được?Toán tử T : V V chéo hóa được khi và chỉ khi mộttrong các điều sau thỏa:Ø V có một cơ sở gồm các vectơ riêng của TØ Giả sử T có tất cả các giá trị riêng 1,…, k và ni = dimV k thì : n1 +. . . + nk = dimV CHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH III. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5. Chéo hóa ma trận, chéo hóa toán tử tuyến tính Các bước chéo hóa một ma trận vuông A hay chéo hóa một toán tử T ?B1 : Tìm các giá trị riêng và các vectơ riêng tương ứngØ Nếu không có giá trị riêng nào thì KL ma trận A không chéo hóa được.Ø Nếu A có k giá trị riêng với số bội là n1, n2, . . ., nk mà n1 + n2 + . . . + nk < dimV thì A không chéo hóa được. ChúB2 : Với mỗi giá trị riêng i, tìm dimV i ý ( nếu có dimV i < ni thì A không chéo hóa được.)B3 : Lập ma trận C làm chéo hóa A là các cột của VTR CHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNHIII. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH5. Chéo hóa ma trận, chéo hóa toán tử tuyến tínhChú ý : Chéo hóa toán tử T ( với [f ]B = A )đượcthực hiện tương tự chéo hóa ma trận A, nhưng matrận C là ma trận đổi cơ sở từ B sang cơ sở mới màtrong đó ma trận của f có dạng chéo. Ví dụ 3. Chéo hóa các ma trận sau : �0 1 0 � �3 3 2 � �5 4 6 � � � � � � � A1 = �−4 4 0 �, A2 = �1 1 −2 ...