Xấp xỉ diophantine trên R - Phần 2: quy tắc dirichlet và hình học của các số

Nội dung chính của bài viết trình bày định lý Dirichlet, hình học số của Minkowski, vật lồi (Convex Bod), dạng tuyến tính (Linear Forms). Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo chi tiết nội dung bài viết này.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Xấp xỉ diophantine trên R - Phần 2: quy tắc dirichlet và hình học của các số XẤP XỈ DIOPHANTINE TRÊN Rn - PHẦN 2: QUY TẮC DIRICHLET VÀ HÌNH HỌC CỦA CÁC SỐ Lý Ngọc Tuệ - Đại học Brandeis, Massachusetts, Mỹ 1. Định lý Dirichlet Trong phần trước [11], với công cụ chính là liên phân số, chúng ta đã có được câu trả lời cho câu hỏi: Các số hữu tỉ có thể xấp xỉ các số vô tỉ tốt đến thế nào? qua định lý sau của Euler: p Định lý 1.1 (Euler 1748 [4]). Với mọi số vô tỉ x 2 R X Q, tồn tại vô số số hữu tỉ 2 Q với q q > 0 sao cho: ˇ ˇ ˇ ˇx p ˇ< 1: ˇ (1.1) ˇ q ˇ q2 Tuy nhiên, cho đến tận bây giờ vẫn chưa có được một cách xây dựng liên phân số trong không gian nhiều chiều Rn có đầy đủ các tính chất để có thể trả lời câu hỏi về khả năng xấp xỉ các véc tơ trên Rn bằng các véc tơ hữu tỉ Qn . Phải đến gần 100 năm sau, Định lý 1.1 mới được mở rộng lên Rn bởi nhà toán học Peter Gustav Lejeune Dirichlet. Kết quả này được xem như là xuất phát điểm cho lý thuyết xấp xỉ Diophantine phát triển. Vì thế nên Định lý 1.1 vẫn thường được gọi là Định lý Dirichlet (trên R). Trên không gian véc tơ Rn , giá trị tuyệt đối trên R trong bất đẳng thức (1.1) sẽ được thay thế bởi sup norm: xE WD maxfjx1 j; :::; jxn jg với xE D .x1 ; :::; xn / 2 Rn : Lưu ý rằng sup norm tương đương với Euclidean norm: p q xE WD xE
xE D x 2 C x 2 C ::: C x 2 2 1 2 n vẫn thường dùng để định nghĩa khoảng cách trên Rn như sau: p xE  xE  n
xE : 2 2 Định lý Dirichlet cho Rn có thể được phát biểu như sau: lý 1.2 (Dirichlet1842 [3]). Với mọi véc tơ xE 2 Rn X Qn , tồn tại vô số véc tơ hữu tỉ Định  pE p1 p2 pn D ; ; :::; 2 Qn với pE 2 Zn và q 2 Z, q ¤ 0, sao cho: q q q q xE pE < 1 : (1.2) q jqj1C n1 15 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Dirichlet chứng minh Định lý 1.2 thông qua Định lý sau: Định lý 1.3 (Dirichlet 1842 [3]). Với mọi Q  1 và với mọi xE 2 Rn , tồn tại pE 2 Zn và q 2 Z, 0 < jqj  Qn sao cho: q xE pE < 1 : (1.3) Q Chứng minh Định lý 1.2 dựa vào Định lý 1.3. Với mỗi Q  1 cố định, áp dụng Định lý 1.3, ta có thể tìm được pE 2 Zn và q 2 Z, 0 < jqj  Qn sao cho: xE E p D 1 q xE pE < 1  1 : 1 q jqj Qjqj jqj1C n pE Vì xE … Qn , xE ¤ 0, nên với Q0 > 0 sao cho q 1 xE pE < ; Q0 q pE0 và q 0 tìm được theo Định lý 1.3 tương ứng với Q0 thỏa mãn điều kiện: 0 xE E p 1 1 E p <  < xE : q 0 Q0 jq 0 j Q0 q Điều này dẫn đến: pE0 pE 0 ¤ : ...