Xây dựng các quá trình ngẫu nhiên

Trong quá trình tiên đề lý thuyết xác suất bằng lý thuyết đo, vấn đề là xây dựng một sigma-đại số của các tập đo được của không gian các hàm số, và đặt lên đó một độ đo hữu hạn. Với mục đích này theo truyền thống người ta sử dụng một phương pháp gọi là mở rộng Kolmogorov. Có một cách tiên đề hóa lý thuyết xác suất khác thông qua các giá trị mong đợi trên đại số C-sao của các biến ngẫu nhiên. Trong trường hợp này phương pháp đó được gọi là xây dựng Gelfand-Naimark-Segal....
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Xây dựng các quá trình ngẫu nhiên Xây dựng các quá trình ngẫu nhiênTrong quá trình tiên đề lý thuyết xác suất bằng lý thuyết đo, vấnđề là xây dựng một sigma-đại số của các tập đo được của khônggian các hàm số, và đặt lên đó một độ đo hữu hạn. Với mục đíchnày theo truyền thống người ta sử dụng một phương pháp gọi làmở rộng Kolmogorov.Có một cách tiên đề hóa lý thuyết xác suất khác thông qua cácgiá trị mong đợi trên đại số C-sao của các biến ngẫu nhiên.Trong trường hợp này phương pháp đó được gọi là xây dựngGelfand-Naimark-Segal.Điều này giống như là hai cách tiếp cận lý thuyết độ đo và tíchphân, khi người ta có chọn lựa xây dựng độ đo trên các tập hợptrước và định nghĩa tích phân sau đó, hay là xây dựng các tíchphân trước và định nghĩa độ đo tập hợp như là tích phân của cáchàm số đặc trưng.Phép mở rộng KolmogorovPhép mở rộng Kolmogorov được diễn đạt theo quá trình sau: giảsử một độ đo xác suất trên không gian của các hàm sốtồn tại, thì nó có thể được sử dụng để chỉ ra phân bố xác suấtliên kết của các biến ngẫu nhiên hữu hạn chiều .Bây giờ, từ phân bố xác suất n-chiều này ta có thể suy ra mộtphân bố xác suất biên (n − 1)-chiều cho . Chú ýrằng điều kiện tương thích hiển nhiên, rằng phân bố xác suấtbiên này là cùng loại với phân bố được suy ra từ quá trình ngẫunhiên, là không cần thiết. Một điều kiện như vậy là đúng, ví dụ,nếu như quá trình ngẫu nhiên là quá trình Wiener (trong trườnghợp này các phân bố biên là tất cả các phân bố gaussian của loạihàm mũ) nhưng không tổng quát cho tất cả các quá trình ngẫunhiên. Khi điều kiện này được biễu diễn dưới các hàm mật độxác suất, kết quả được gọi là phương trình Chapman-Kolmogorov.Định lý mở rộng Kolmogorov bảo đảm sự tồn tại của một quátrình ngẫu nhiên với một họ của các phân bố xác suất hữu hạnchiều thỏa mãn điều kiện tương thích Chapman-Kolmogorov.khả ly, hay là thứ mà phép mở rộng Kolmogorov khôngcung cấpNhớ lại rằng, trong hệ tiên đề Kolmogorov, các tập hợp đo đượclà các tập có xác suất, hay nói các khác, là các tập hợp liên quantới các câu hỏi có/không có một câu trả lời mang tính xác suất.Phép mở rộng Kolmogorov bắt đầu bằng các tuyên bố rằng đểgọi là đo được tất cả các tập hợp hàm số với hữu hạn tọa độ được giới hạn nằmg trong các tập con đo đượccủa Yn. Nói một cách khác, nếu một câu hỏi có/không về hàm sốf có thể được trả lời bằng cách xem xét các giá trị của nhiều nhấtlà hữu hạn tọa độ, thì nó có một câu trả lời mang tính xác suất.Trong lý thuyết độ đo, nếu chúng ta có một họ vô hạn đếm đượccủa các tập hợp đo được, thì hợp và giao của chúng là một tậpđo được. Cho mục đích của chúng ta, điều này nghĩa là các câuhỏi có/không phụ thuộc vào bao nhiêu tọa độ đếm được màchúng ta có câu trả lời xác suất.Điều khả quan là phép mở rộng Kolmogorov làm chúng ta cóthể xây dựng một quá trình ngẫu nhiên với các phân bố hữu hạnchiều khá là tùy ý. .[sửa] Các ví dụ và các trường hợp đặc biệt[sửa] Thời gianMột trường hợp đặc biệt là khi thời gian là một tập hợp rời rạc,ví dụ các số tự nhiên không âm {0, 1, 2, 3, ...}. Trường hợp đặcbiệt quan trọng khác là khi .Các quá trình ngẫu nhiên có thể được định nghĩa trên các chiềukhông gian cao hơn bằng cách gắn một biến ngẫu nhiên đa chiềuvào từng điểm của tập chỉ số, tương đương với việc sử dụng mộttập chỉ số đa chiều (multidimensional index set). Thật vậy mộtbiến ngẫu nhiên đa chiều tự nó có thể được xem như là một quátrình ngẫu nhiên với tập chỉ số T = {1, ..., n}.[sửa] Các ví dụCác quá trình ngẫu nhiên liên tục được gọi là các quá trìnhWiener. Trong dạng nguyên thủy bài toán liên quá đến chuyểnđộng của một hạt chuyển động trên một bề mặt chất lỏng, nhậncác cú hích từ các phân tử của chất lỏng. Hạt đó được xemnhư là chịu một lực ngẫu nhiên mà, bởi vì các phân tử là rất nhỏvà rất gần nhau, được xem như là liên tục và, bởi vì hạt đó bịgiới hạn trong mặt chất lỏng bởi sức căng bề mặt, tại mỗi điểmcủa thời gian nó là một vecto song song với bề mặt ...