Xử lý tín hiệu số_Chương II (Phần 1)

Kỹ thuật biến đổi là một công cụ quan trọng trong phân tích tín hiệu và hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian. Chương II sẽ tập trung vào việc giới thiệu phép biến đổi -Z, khai thác các tính chất cũng như tầm quan trọng của phép biến đổi này trong việc phân tích và mô tả đặc điểm của các hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Xử lý tín hiệu số_Chương II (Phần 1) Chöông 2 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Z Chöông II BIEÅU DIEÃN TÍN HIEÄU VAØ HEÄ THOÁNG RÔØI RAÏC TRONG MIEÀN Z 2.1 Môû Ñaàu Kyõ thuaät bieán ñoåi laø moät coâng cuï quan troïng trong phaân tích tín hieäu vaø heä thoáng tuyeán tính baát bieán theo thôøi gian (LTI). Chöông II seõ taäp trung vaøo vieäc giôùi thieäu pheùp bieán ñoåi - Z, khai thaùc caùc tính chaát cuõng nhö taàm quan troïng cuûa pheùp bieán ñoåi naøy trong vieäc phaân tích vaø moâ taû ñaëc ñieåm cuûa caùc heä thoáng tuyeán tính baát bieán theo thôøi gian. Khi phaân tích caùc tín hieäu rôøi raïc theo thôøi gian vaø heä thoáng LTI, bieán ñoåi - Z ñoùng vai troø töông töï nhö bieán ñoåi Laplace trong vieäc phaân tích caùc tín hieäu vaø heä thoáng lieân tuïc theo thôøi gian. Nhôø coù pheùp bieán ñoåi - Z maø quaù trình phaân tích ñaùp öùng cuûa heä thoáng ñoái vôùi caùc tín hieäu vaøo khaùc nhau ñöôïc ñôn giaûn hoùa ñi raát nhieàu. Theâm vaøo ñoù, bieán ñoåi - Z coøn cung caáp cho ta phöông tieän moâ taû heä thoáng LTI, ñaùp öùng cuûa heä thoáng ñoái vôùi caùc tín hieäu vaøo khaùc nhau qua caùc ñieåm cöïc_khoâng cuûa heä thoáng 2.2 Bieán Ñoåi - Z 2.2.1 Ñònh Nghóa Bieán Ñoåi - Z Hai Phía Vaø Moät Phía a. Bieán Ñoåi - Z Hai Phía : Bieán ñoåi - Z cuûa tín hieäu rôøi raïc theo thôøi gian ñöôïc ñònh nghóa qua moät daõy luyõ thöøa ∞ X(z) = ∑ x (n )z n = −∞ −n (2.1) trong ñoù z laø 1 bieán soá phöùc. Quan heä treân ñöôïc goïi laø bieán ñoåi - Z tröïc tieáp bôûi vì noù bieán ñoåi tín hieäu trong mieàn thôøi gian x(n) thaønh vieäc bieåu dieãn tín hieäu X(z) trong mieàn Z (töùc laø trong maët phaúng phöùc Z vì z laø bieán soá phöùc) vaø X(z) laø moät haøm phöùc cuûa bieán soá z Bieán ñoåi z cuûa x(n) ñöôïc moâ taû bôûi : X(z) = Z {x (n )} (2.2) Z ÔÛ ñaây quan heä giöõa x(n) vaø X(z) ñöôïc moâ taû bôûi : x(n) ← → X(z)  Ta thaáy raèng bieán ñoåi - Z laø moät chuoãi luõy thöøa voâ haïn, noù toàn taïi chæ ñoái vôùi caùc giaù trò z maø taïi ñoù chuoãi naøy hoäi tuï. Mieàn hoäi tuï ROC (Region of Convergence) cuûa X(z) bao goàm taát caû caùc giaù trò cuûa z maø ôû ñoù X(z) hoäi tuï. Ví duï 2.1 : Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 45 Chöông 2 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Z Haõy xaùc ñònh bieán ñoåi z cuûa caùc tín hieäu vôùi ñoä daøi höõu haïn sau : (a) x1(n) = { 2, 1, 3, 5} (b) x2(n) = {5, 2, 1, 4, 3} (c) x3(n) = δ (n ) (d) x4(n) = δ (n–no) (no > 0) (e) x5(n) = 3 δ (n+ 4) + δ (n+1) Giaûi : Töø ñònh nghóa (2.1) ta coù : (a) X1(z) = 2 + z-1 + 3z-2 + 5z-3 ROC toaøn boä maët phaúng Z, tröø z=0 (b) X2(z) = 5z2 + 2z1 + 1 + 4z–1 + 3z-2 ROC toaøn boä maët phaúng Z, tröø z = 0 vaø z = ∞ ∞ (c) X3(z) = ∑ δ (n) z −n = 1z0=1 n = −∞ ROC toaøn boä maët phaúng Z ∞ (d) X4(z) = ∑ δ (n-no)z −n = 1z n = −∞ −n o = z −n o (no > 0) ROC toaøn boä maët phaúng Z, tröø Z = 0 ∞ (e) X5(z) = ∑ [3δ (n + 4) + δ (n + 1)] z n = −∞ −n = 3z 4 + z1 ROC toaøn boä maët phaúng Z, tröø z= ∞ Nhaän xeùt : • Trong caùc ví duï treân ta coù theå thaáy caùc heä soá cuûa z-n ñöôïc ñöa ra trong pheùp bieán ñoåi chính laø caùc giaù trò cuûa tín hieäu ôû taïi thôøi ñieåm thöù n. Noùi moät caùch khaùc, soá muõ cuûa z trong pheùp bieán ñoåi coù chöùa thoâng tin veà thôøi gian xaùc ñònh maãu cuûa tín hieäu. • Trong raát nhieàu tröôøng hôïp, bieåu thöùc cuûa bieán ñoåi z döôùi daïng toång cuûa caùc chuoãi voâ haïn hoaëc höõu haïn coù theå ñöôïc bieåu dieãn baèng moät bieåu thöùc ôû daïng ngaén goïn. Haõy xeùt ví duï döôùi ñaây : Ví duï 2.2 : Haõy tìm bieán ñoåi Z cuûa tín hieäu Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 46 Chöông 2 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Z n 1 x(n) =   u(n)  2 Im(z) Giaûi : Ta xaùc ñònh tín hieäu x(n). Maët phaúng Z  2  1 1 1 3 n 1   ROC x(n) = 1, ,   ,   , L ,   ... 1/2  2  2  2   2   Re(z) 1 1 2 n  1  -n 0 ...