14 BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG TRONG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM 2000 - 2010

Trong các đề thi học sinh giỏi quốc gia hàng năm, bài toán hình học được xem là bài toán cơ bản, bắt buộc. Để giải chúng, đòi hỏi người học nắm vững các kiến thức căn bản về hình học và năng lực tổng hợp các kiến thức đó. Nhằm phục vụ cho kỳ thi sắp đến, tôi xin giới thiệu các em một số bài toán trong các kỳ thi vừa qua, giúp các em có cái nhìn tổng quan về mức độ và kiến thức đòi hỏi trong các bài thi....
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
14 BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG TRONG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM 2000 - 201014 BÀI TOÁN HÌNH H C PH NGTRONG THI H C SINH GI I NĂM 2000-2010 www.VNMATH.comTrong các thi ch n h c sinh gi i vòng qu c gia hàng năm, bài toán hình h c ph ng ư c xem là bàitoán cơ b n, b t bu c. gi i chúng, òi h i ngư i h c n m v ng các ki n th c căn b n v hình h cvà năng l c t ng h p các ki n th c ó. Nh m ph c v kỳ thi s p n, tôi xin gi i thi u v i các em m ts bài toán trong các kỳ thi v a qua, giúp các em có cái nhìn t ng quan v m c và ki n th c òi h itrong các bài thi.Bài 1. (B ng B - năm 2000) Trên m t ph ng cho trư c cho hai ư ng tròn (O1 ; r1) và (O2 ; r2). Trên ư ng tròn (O1 ; r1) l ym t i m M1 và trên ư ng tròn (O2 ; r2) l y m t i m M2 sao cho ư ng th ng O1M1 c t ư ng th ngO2M2 t i i m Q. Cho M1 chuy n ng trên ư ng tròn (O1 ; r1), M2 chuy n ng trên ư ng tròn (O2 ;r2) cùng theo chi u kim ng h và cùng v i v n t c góc như nhau. 1) Tìm qu tích trung i m o n th ng M1M2. 2) Ch ng minh r ng giao i m th hai c a hai ư ng tròn ngo i ti p tam giác M1QM2 v i ư ngtròn ngo i ti p tam giác O1QO2 là 1 i m c nh. Gi i P Q Q M2 M2 M2’ M M1 M1 M1’ O1 O2 O2 O1 O1) G i O là trung i m c a O1O2. Hi n nhiên O là i m c nh.L y các i m M’1 , M’2 sao cho: OM 1 = O1 M1 , OM 1 = O 2 M 2 . Vì M1 , M2 tương ng chuy n ngtrên (O1 ; r1), (O2 ; r2) theo cùng chi u và v i cùng v n t c góc nên M’1 , M’2 s quay quanh O theocùng chi u và v i v n t c góc (*). 1 1Ta có : M là trung i m M1M2 ⇔ OM = (OM1 + OM 2 ) ⇔ OM = (O1 M 1 + O2 M 2 ) 2 2 ⇔ M là trung i m c a M’1 , M’2 (**). 1 2r12 + 2r22 − d 2 , trong ó dT (*), (**) suy ra: qu tích c a M là ư ng tròn tâm O và bán kính R = 2= M1M2 = const.2) G i P là giao i m th hai c a ư ng tròn ngo i ti p tam giác M1QM2 và ư ng tròn ngo i ti p tam PO1 r1giác O1QO2. D dàng ch ng minh ư c: ∆ PO1M1 ng d ng ∆ PO2M2. Suy ra = . Do ó, P PO 2 r2 r nh, theo t s không i 1 (1).thu c ư ng tròn Apôlôniut d ng trên o n O1O2 c r2D th y (PO1 , PO 2 ) = α = const . Suy ra, P thu c cung ch a góc nh hư ng không i α d ng trên o n O1O2 c nh (2). T (1), (2) suy ra P là i m c nh ( pcm). trang 1 www.VNMATH.comBài 2. (B ng B - năm 2001) Trong m t ph ng cho hai ư ng tròn (O1) và (O2) c t nhau t i hai i m A, B và P1 , P2 là m t ti ptuy n chung c a hai ư ng tròn ó (P1 ∈ (O1), P2 ∈ (O2)). G i Q1 và Q2 tương ng là hình chi u vuônggóc c a P1 và P2 trên ư ng th ng O1O2 . ư ng th ng AQ1 c t (O1) t i i m th hai M1, ư ng th ngAQ2 c t (O2) t i i m th hai M2. Hãy ch ng minh M1 , B, M2 th ng hàng . Gi iG i R1 và R2 tương ng là bán kính c a (O1) và (O2).1) Trư ng h p 1 : R1 = R2. Khi ó Q1 ≡ O1 và Q2 ≡ O2 ⇒ M1 BA = M 2 BA = 900 ⇒ M1 , B, M2 th nghàng . A O1 ≡ Q1 O2 ≡ Q2 M1 M2 B P2 P12) Trư ng h p 2 : R1 ≠ R2. Gi s R1 > R2 . A1 A Q2 O1 S Q1 O2 ...