152Chương 3. M t sng d ng c a s ph c trong đ i sc u đó đư c xác đ nh theo công th c

Sự tồn tại: Đẳng cấu phân tuyến tính thỏa mãn điều kiện của định lý được xác định theo công thức. Thật vậy, giải phương trình đối với w ta thu được hàm phân tuyến tính. Ngoài ra, khi thế cặp z=z1, và w=w1 vào eq3.50 thì cả hai vế của (3.50) đều bằng 0.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
152Chương 3. M t sng d ng c a s ph c trong đ i sc u đó đư c xác đ nh theo công th c152 Chương 3. M t s ng d ng c a s ph c trong đ i sc u đó đư c xác đ nh theo công th c w − w1 w3 − w2 z − z1 z3 − z2 · = · · (3.50) w − w2 w3 − w1 z − z2 z3 − z1Ch ng minh 1.Tính duy nh t. Gi s ta có hai đ ng c u w1 (z) và w2(z) th a mãn cácđi u ki n c a đ nh lí. Gi s ζ2 (w) là ánh x ngư c c a w2(z).Ta xét ánh x ζ2 [w1(z)]. đó là m t đ ng c u phân tuy n tính. đ ng c u nàycó ba đi m b t đ ng z1 , z2 và z3 vì w1(zk ) = wk , k = 1, 2, 3, ζ2 (wk ) = zk , k = 1, 2, 3. az + bDo đó n u đ t ζ2 [w1 (z)] = thì cz + d azk + b = zk , k = 1, 2, 3, czk + dhay là 2 czk + (d − a)zk − b = 0, k = 1, 2, 3.Đa th c b c hai v trái ch có th có ba nghi m khác nhau (z1 = x2 = z3 )khi m i h s c a nó đ u b ng 0, t c là a = d, b = c = 0 và ζ2 [w1(z)] ≡ z haylà w1 (z) ≡ w2 (z). 2. S t n t i. Đ ng c u phân tuy n tính th a mãn đi u ki n c a đ nh líđư c xác đ nh theo công th c (3.50). Th t v y, gi i phương trình (3.50) đ i v iw ta thu đư c hàm phân tuy n tính. Ngoài ra khi th c p z = z1 và w = w1vào eq3.50 thì c hai v c a (3.50) đ u b ng 0. Th c p z = z3 và w = w3vào (3.50) ta thu đư c c hai v đ u b ng 1 và cu i cùng, th c p z = z2 vàw = w2 ta thu đư c c hai v đ u b ng ∞.Trong hình h c, bi u th c z − z1 z3 − z1 λ= : z − z2 z3 − z23.3. Phương trình hàm v i bi n đ i phân tuy n tính 153đư c g i là t s phi đi u hòa c a b n đi m z, z1, z2 và z3.N u b n đi m z1 , z2, z, z3 n m trên m t đư ng tròn (ho c đư ng th ng) thìts phi đi u hòa là m t s th c. Th t v y a) N u các đi m z1, z2, z, z3 n m trên đư ng th ng ζ = ζ0 + teiα, −∞ < t < ∞ta có: z1 = ζ0 + t1 eiα, z2 = ζ0 + t2eiα , z = ζ0 + t0eiα , z3 = ζ0 + t3 eiα và t đó z − z1 z3 − z1 t 0 − t 1 t3 − t1 (z1 , z2, z, z3) = : = : ∈ R. z − z2 z3 − z2 t0 − t2 t3 − t2 b) N u các đi m z, z1, z2, z3 n m trên đư ng tròn ζ = ζ0 + reit , r > 0,0 t 2π, ta có z1 = ζ0 + reiϕ1 , z2 = ζ0 + reiϕ2 , z3 = ζ0 + reiϕ3 và t đó ta có eiϕ0 − eiϕ1 eiϕ3 − eiϕ1 (z1 , z2, z, z3) = : eiϕ0 − eiϕ2 eiϕ3 − eiϕ2 ϕ0 +ϕ1 ϕ0 −ϕ1 ϕ0 −ϕ1 ϕ2 +ϕ1 ϕ3 −ϕ1 ϕ3 −ϕ1 ei 2 ei 2 − e−i 2 ei 2 ei 2 − e−i 2 = ϕ0 +ϕ2 ϕ0 −ϕ1 ϕ0 −ϕ1 : ϕ1 +ϕ3 ϕ3 −ϕ2 ϕ3 −ϕ2 ei 2 ei 2 − e−i 2 ei 2 ei 2 − e−i 2 ϕ0 − ϕ1 ϕ0 − ϕ1 sin sin 2 2 = ϕ0 − ϕ2 : ϕ3 − ϕ2 ∈ R. sin sin 2 2 T đ nh lí 3.11 ta rút ra m t tính ch t quan tr ng n a c a đ ng c u phântuy n tính.H qu 3.2. T s phi đi u hòa là m t b t bi n c a nhóm các đ ng c u phântuy n tính.Đ nh nghĩa 3.2. 1. Hai đi m z và z ∗ đư c g i là đ i x ng v i nhau qua đư ng trònΓ = {|z − z0 | = R} ⊂ C n u chúng có các tính ch t sau: a) z và z ∗ cùng n m trên m t tia đi t z0; b) |z − z0 | · |z ∗ − z0| = R2 .154 Chương 3. M t s ng d ng c a s ph c trong đ i s 2. M i đi m trên đư ng tròn Γ đư c xem là đ i x ng v i chính nó qua Γ.T đ nh nghĩa 3.2 suy ra r ng các đi m đ i x ng qua đư ng tròn Γ liên h v inhau b i h th c R2 w = z0 + · z − z0Th t v y, t bi u th c v a vi t suy ra |w − z0| |z − z0| = R2và arg(w − z0) = arg(z − z0).Trong hình h c sơ c p ta bi t r ng hai đi m z và z ∗ đ i x ng v i nhau quađư ng tròn Γ khi và ch khi m i đư ng tròn γ ⊂ C đi qua z và z ∗ đ u tr cgiao v i Γ. Ta có đ nh lí sau.Đ nh lý 3.12. Tính đ i x ng tương h gi a các đi m là m t b t bi n c anhóm các đ ng c u phân tuy ...