Chương 3: Nội suy và xấp xỉ hàm số

Tham khảo bài thuyết trình chương 3: nội suy và xấp xỉ hàm số, khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chương 3: Nội suy và xấp xỉ hàm số Chương 3Nội suy và xấp xỉ hàm số 1 3.1. Số gia hữu hạnCho giá trị của hàm số ƒ(x) tại các điểm mốc xi = x0 + ih, i = − m,− m,...,0,1,..., mLà f ( x− m ), f ( x−m +1 ), …, f ( xm ),1. Số gia hữu hạn tiến- Số gia hữu hạn tiến bậc 1 của hàm ƒ(x) tại điểm x là ∆f ( x) = f ( x + h) − f ( x) 2- Số gia hữu hạn tiến bậc 2 và bậc cao hơn: ∆2 f ( x) = ∆f ( x + h) − ∆f ( x) = f ( x + 2h) − f ( x + h) − f ( x + h) + f ( x ) = f ( x + 2h) − 2 f ( x + h) + f ( x )………………………………………………………. ∆k f ( x) = ∆( k −1) f ( x + h) − ∆( k −1) f ( x) = f ( x + kh) − kf ( x + (k − 1)h) + k (k − 1) f ( x + (k − 2)h) + ... + (−1) k f ( x) 2!k=1,2,… 3Hoặc k −i  k  k ∆ f ( x) = ∑ (−1) k   f ( x + ih) i (3.1) i =0   k k  = ∑ (−1)   f ( x + (k − i )h) i i i =0    k  là một số (hệ số binôm)   i    k  k   k  k (k −1)   = 1,   = k ,   = 0 1  2 ,...,       2!  k  k (k −1)(k − 2)...( k − i +1)  = i  ,i ≤ k   i! 42. Số gia hữu hạn lùiSố gia hữu hạn lùi bậc 1, 2 và bậc cao hơn của hàm ƒ(x)tại điểm x ∇f ( x) = f ( x) − f ( x − h) ∇2 f ( x) = ∇f ( x) − ∇f ( x − h) = f ( x ) − 2 f ( x − h) + f ( x − 2h)……………………………………………………………… k k ∇ f ( x) = ∑ (−1)   f ( x − (k − i )h), k k −i i (3.2) i =0   ik  k = ∑ (−1)   f ( x − ih) i i =0   53. Số gia hữu hạn trung tâmSố gia hữu hạn trung tâm bậc 1, 2 và bậc cao hơn của hàmƒ(x) tại điểm x δf ( x) = f ( x + h / 2) − f ( x − h / 2) δ 2 f ( x) = δf ( x + h / 2) − δf ( x − h / 2) = f ( x + h) − 2 f ( x ) + f ( x − h)…………………………………………………… k k  δ f ( x) = ∑ (−1)   f ( x + (k / 2 − i )h), k k −i i (3.3) i =0   k ⇒ ∆ f ( x) = ∇ f ( x + kh) = δ f ( x + h) k k k (3.4) 2 6 3.2. Các bảng số giaBảng số gia hữu hạn tiến 7Bảng số gia hữu hạn lùi 89 3.3. Các phương pháp nội suy1. Nội suy với mốc cách đềuxét cách biểu diễn một đa thức theo số gia hữu hạn• Nếu thay cho việc dùng biến x khi các mốc cách đều ta dùng biến x − x0 u= , h = xi +1 − xi h• Thì các mốc được thay thế bằng u = -m , -m+1, … , 0 , 1 , … , m 10 NộisuyGregoryNewtontiếnTadùngmộtloạiđathứcđượcgọilàđathứcgiaithừa u [ 0] = 1, u [1] = u, u [ 2] = u (u − 1), .......... .......... .......... . u [ k ] = u (u − 1)(u − 2)...(u − k + 1), 11Khi đó, theo định nghĩa (3.1), số gia hữu hạn tiến bậc 1 của u[k]∆u [ k ] = (u + 1) k − u [ k ] = (u + 1)u [ k −1] − (u − k + 1)u [ k ] = ku [ k −1]Tương tự∆2u [ k ] = k (k − 1)u [ k − 2]∆k u [ k ] = k! 121314• Nếu |ƒ(N+1)(x)| NộisuyGregoryNewtonlùiTadùngmộtloạiđathứcđượcgọilàđathứcgiaithừa u[ 0 ] = 1, u[1] = u , u[ 2 ] = u (u + 1), .......... .......... .......... . u[ k ] = u (u + 1)(u + 2)...(u + k − 1), 16Khi đó, theo định nghĩa (3.2), số gia hữu hạn lui bậc 1 của u[k] ∇u[ k ] = u[ k ] − (u − 1)[ k ] = (u + k − 1)u[ k −1] − (u − 1)u[ k −1] = ku [ k −1]Tương tự ∇ 2u[ k ] = k ( k − 1)u[ k −2 ] ∇ k u [ k ] = k!Ta nhận thấy 1 [1] 17giai thừa u , i = 1, 2, …, k và do N N 0 PN ( x) = c0 u [ N ] + c1u [ N −1] + ... + c N −1u [1] + c N u [ 0 ] PN ( x0 ) = c0 0[ N ] + c1 0[ N −1] + ... + c N −1 0[1] + c N 0[ 0 ] = c N ∇PN ( x) = Nc0u[ N −1] + ( N − 1)c1u[ N −2 ] + ... + cN −1u[ 0 ] ⇒ ∇PN ( x0 ) = cN −1 ∇ 2 PN ( x) = N ( N − 1)c0u[ N − 2] + ( N − 2)( N − 1)c1u[ N −3] + ... + 2 × 1 × c N − 2 .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ........ ∇ N PN ( x ) = N !c0 18⇒ PN ( x0 ) = cN , ∇PN ( x0 ) = cN −1 , ∇ 2 PN ( x0 ) = cN −2 2! .......... .......... ..... ∇ N PN ( x0 ) = c0 N!Như vậy: ∇ N PN ( x0 ) [ N ] PN ( x) = u + .... + ∇PN ( x0 )u [1] + PN ( x0 ) N! hay ∇ i ...