Bài 4: Áp dụng các bất đẳng thức đã học giải một vài bài toán cực trị

Nhằm giúp các em học sinh có thêm tài liệu phục vụ nhu cầu học tập và nghiên cứu môn Toán, mời các bạn cùng tham khảo nội dung bài 4 "Áp dụng các bất đẳng thức đã học giải một vài bài toán cực trị" dưới đây. Nội dung tài liệu cung cấp cho các bạn cách giải những câu hỏi bài toán cực trị bằng phương pháp áp dụng các bất đẳng thức.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài 4: Áp dụng các bất đẳng thức đã học giải một vài bài toán cực trị 1BÀI 4 ÁP DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐÃ HỌC GIẢI MỘT VÀI BÀI TOÁN CỰC TRỊA-GIẢI CÁC BÀI TẬP CỦA BÀI 31/ Chứng minh rằng với các số dương a1, a2, . . . , an các bất đẳng thức sau luôn luôn nghiệm đúng (a1 + a2 + . . . + an)  n-1  a1  a2  ...  an  , với  ≥ 1 (1a) (a1 + a2 + . . . + an)  n-1  a1  a2  ...  an  , với 0 <   1 (1b)Từ kết quả chứng minh, hãy nêu ra công thức cho trường hợp riêng: tổng chỉ có hai số hạng.ĐÁPNếu  ≥ 1 thì 1  a1  a2  ...  an  a1  a2  ...  an c =     c1  n  nTừ bđt trên đây dễ ràng suy ra bđt (1a). Cũng chứng minh tương tự ta được bđt (1b).Đặc biệt, từ (1a) và (1b) ta có: (x + y)  2-1(x + y),  ≥ 1, x > 0, y > 0. (x + y) ≥ 2-1(x + y), 0 <  < 1, x > 0, y > 0.2/ Chứng minh rằng nếu 0 >  > -1 thì  n  1 n 1   n  1  1  1  n 1  n   1  1ĐÁPVì 0 <  + 1 < 1 và do bđt (1) của định lý 1 ở Bài 3 ta c ó:  1  1  1 1    1  n n  1  1  1 1    1  n nNhân các bđt trên đây với n+1 ta được: (n + 1)+1 < n+1 + ( + 1)n, (n – 1)+1 < n+1 - ( + 1)n. 2Từ hai bđt này dễ dàng suy ra bđt cần chứng minh.3/ Chứng minh rằng nếu 0 >  > -1 thì  n  1  1  m 1 n 1  (m  1) 1  m   m  1  ...  n   (2)  1  1ĐÁP Trong bđt thức đã dược chứng minh ở bài tập 2 trên đây, đặt n = m, m + 1,. . ., n, ta có:  m  1 m1   m  1 1 1  m1  m  1  1   m  2   m  1  m  1 1 1 1  m1   m  1   1  1   m  3  m  2  m  2    m  1 1 1 1 1   m  2   1  1  ...............................................  n  1 n1   n  1 1 1  n1 ...