Bài 4: Cực trị hàm đa thức - Trần Phương

Tài liệu ôn tập tham khảo môn toán môn đại số hệ trung học phổ thông.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài 4: Cực trị hàm đa thức - Trần Phương Bài 4. Cực trị hàm đa thức BÀI 4. CỰC TRỊ HÀM ĐA THỨCA. CỰC TRỊ HÀM ĐA THỨC BẬC 3I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT1. Hàm số: y = f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 )2. Đạo hàm: y ′ = f ′ ( x ) = 3ax 2 + 2bx + c3. Điều kiện tồn tại cực trịy = f (x) có cực trị ⇔ y = f (x) có cực đại và cực tiểu⇔ f ′ ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ = b2 − 3ac > 04. Kỹ năng tính nhanh cực trịGiả sử ∆′ = b2 − 3ac > 0, khi đó f ′ ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x 2 với −b ± b 2 − 3ac và hàm số đạt cực trị tại x1, x2.x1,2 = 3aTheo định nghĩa ta có các cực trị của hàm số là:  −b − b 2 − 3ac   −b + b 2 − 3ac y1 = f ( x1 ) = f   ; y 2 = f ( x2 ) = f    3a   3a Trong trường hợp x1, x2 là số vô tỉ thì các cực trị f (x1), f (x2) nếu tính theo địnhnghĩa sẽ phức tạp hơn so với cách tính theo thuật toán sau đây:Bước 1: Thực hiện phép chia f (x) cho f ′ (x) ta có: ( )   ( ) 2 f ( x ) = 1 x + b f ′ ( x ) + 2  c − b  x + d − bc 3 9a 3 3a  9a hay f ( x ) = f ′ ( x ) .q ( x ) + r ( x ) với bậc r ( x ) = 1  f ′ ( x1 ) = 0   2 b2  (  y1 = f ( x1 ) = r ( x1 ) = 3  c − 3a  x1 + d − 9a    bc )Bước 2: Do  nên   f ′ ( x2 ) = 0    2  b2   ( bc  y 2 = f ( x 2 ) = r ( x 2 ) = 3  c − 3a  x 2 + d − 9a )Hệ quả:Đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu có phương trình là: y = r(x)Đối với hàm số tổng quát : y = f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 ) thì đường   ( ) 2thẳng đi qua cực đại, cực tiểu có phương trình: y = 2  c − b  x + d − bc 3 3a  9a 1Chương I. Hàm số – Trần PhươngII. BÀI TẬP MẪU MINH HỌA Bài 1.Tìm m để hàm số: y = 1 x + ( m − m + 2 ) x + ( 3m + 1) x + m − 5 3 2 2 2 3 đạt cực tiểu tại x = −2.Giải: y ′ ( x ) = x 2 + 2 ( m 2 − m + 2 ) x + 3m 2 + 1 ⇒ y ′′ ( x ) = 2 x + 2 ( m 2 − m + 2 )Để hàm số đạt cực tiểu tại x = − thì 2 y ′ ( −2 ) = 0  2 − m + 4m − 3 = 0 ( )(  m −1 m − 3 = 0 ) ⇔ ⇔ ⇔m=3 y ′′ ( −2 ) > 0 m 2 − m > 0   m ( m − 1) > 0  3 2 3 Bài 2.Tìm a để các hàm số f ( x ) = x − x + ax + 1 ; g ( x ) = x + x 2 + 3ax + a 3 2 3 . có các điểm cực trị nằm xen kẽ nhau.Giải: f ′ ( x ) = x 2 + 2 x + 3a ; g ′ ( x ) = x 2 − x + a . Ta cần tìm a sao cho g′ (x) có 2nghiệm phân biệt x1 < x 2 và f ′ (x) có 2 nghiệm phân biệt x 3 < x 4 sao cho x1 < x 3 < x 2 < x 4  ∆ 1 = 1 − 3a > 0 ; ∆ 2 = 1 − 4a > 0  a < 1 ′  4 ⇔ ⇔ (*) x 3 < x1 < x 4 < x 2  f ′ ( x1 ) f ′ ( x 2 ) < 0   f ′ ( x1 ) f ′ ( x 2 ) < 0 Ta có: f ′ ( x1 ) f ′ ( x 2 ) < 0 ⇔  g ′ ( x1 ) + 3x1 + 2a   g ′ ( x 2 ) + 3 x 2 + 2a  < 0 ⇔   ( 3x1 + 2a ) ( 3x 2 + 2a ) < 0 ⇔ 9 x1 x 2 + 6a ( x1 + x 2 ) + 4a 2 = a ( 4a + 15) < 0 ⇔ − 15 < a < 0 4 Bài 3.Tìm m để f ( x ) = 2 x 3 + 3 ( m − 1) x 2 + 6 ( m − 2 ) x − 1 có đường thẳng đi qua CĐ, CT song song với đường thẳng y = ax + b.Giải: f ′ ( x ) = 6 [ x 2 + ( m − 1) x + ( m − 2 ) ] = 0 ⇔ g ( x ) = x 2 + ( m − 1) x + ( m − 2 ) = 0Hàm số có CĐ, CT ⇔ g ...