Bài giảng Các bài toán về Hình học tổ hợp - Lê Phúc Lữ

Bài giảng "Các bài toán về Hình học tổ hợp - Lê Phúc Lữ” được chia sẻ dưới đây sẽ giúp bạn ôn tập và nâng cao kỹ năng giải bài tập toán học nhằm ôn tập lại kiến thức cũng như chuẩn bị cho các kì thi sắp diễn ra đạt kết quả cao. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết bài giảng.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Các bài toán về Hình học tổ hợp - Lê Phúc Lữ CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH HỌC TỔ HỢP Lê Phúc Lữ - Thành phố Hồ Chí MinhI. Kiến thức cần nhớ.1. Các khái niệm cơ bản về hình học tổ hợp.- Khoảng cách: từ điểm M đến hình ( H ) là min {MN | N ∈ ( H )} .Chẳng hạn nếu ( H ) là một điểm thì khoảng cách từ M đến hình ( H ) chính là độ dài đoạnthẳng, nếu ( H ) là đường tròn (O) thì đó chính là khoảng cách từ M đến giao điểm gần nhấtcủa MO với đường tròn,... h M N O- Lân cận: bán kính d của hình ( H ) là tập hợp các điểm M có khoảng cách đến ( H ) khôngvượt quá d .Chẳng hạn: lân cận của một điểm là một hình tròn, lân cận của một đường tròn là một hìnhxuyến, lân cận của một đoạn thẳng là hai hình chữ nhật và hai nửa hình tròn, lân cận của một đagiác là gồm nhiều hình chữ nhật và nhiều phần của một hình tròn. A B D C- Bao lồi: của một hệ điểm là đa giác lồi có đỉnh thuộc hệ điểm đã cho, có chu vi nhỏ nhất vàchứa toàn bộ hệ điểm đó. Bao lồi là một công cụ mạnh, không chỉ để giải quyết các bài toánmang tính lý thuyết mà còn cả những bài mang tính thực tiễn cao. 1- Điểm nguyên: trong hệ trục tọa độ vuông góc Oxy hoặc trong không gian Oxyz là nhữngđiểm có tọa độ đều là các số nguyên.2. Một số định lí cơ bản.- Lân cận bán kính d của một đa giác có diện tích S , chu vi P có diện tích là S + pd + π d 2 . 1- Một tam giác nội tiếp trong một hình chữ nhật thì có diện tích không vượt quá diện tích của 2hình chữ nhật đó.- Một đa giác có khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm M , N bất kì nằm trong nó không vượt quád có thể nội tiếp được trong một hình tròn có đường kính là d .- Một đa giác có số cạnh chẵn thì tồn tại một đường chéo không song song với bất cứ cạnh nàocủa đa giác.- Định lí Pick: một đa giác lồi không tự cắt có a điểm nguyên trên cạnh (có tính cả đỉnh) và b ađiểm nguyên nằm phía trong thì có diện tích là S = + b − 1 . 2II. Một số bài tập áp dụng.Bài 1: Trong mặt phẳng cho n điểm A1 , A2 , A3 ,..., An sao cho không có ba điểm nào thẳnghàng và không có 4 điểm nào tạo thành một hình thang. Qua mỗi điểm Ai , i = 1, n , ta vẽ cácđường thẳng song song với tất cả các đoạn thẳng Aj Ak , j ≠ k , k ∈ {1, 2,3,..., n} . Tìm số tối đacác giao điểm của các đường thẳng song song đã vẽ.Giải. (n − 1)(n − 2)Xét một điểm Ai ,1 ≤ i ≤ n nào đó, có tất cả: Cn2−1 = đường thẳng đi qua 2 trong n − 1 2điểm còn lại. n(n − 1)(n − 2)Do có tất cả n điểm nên ta có đường thẳng trong mặt phẳng và có n − 2 đường 2thẳng cùng song song với nhau.Ta sẽ tìm số giao điểm tối đa của một đường thẳng d đi qua điểm Ai ,1 ≤ i ≤ n nào đó với các n(n − 1)(n − 2)đường thẳng khác còn lại. Ngoài đường thẳng d ra, = ta còn M − 1 đường thẳng 2 (n − 1)(n − 2)khác và trong = đó có N − 1 đường cùng đi qua Ai như đường thẳng d. 2Do đường thẳng d song song với P= n − 3 đường thẳng khác nên số giao điểm nhiều nhất trênđường thẳng d là: 2  n(n − 1)(n − 2)   (n − 1)(n − 2)  n3 − 4n 2 + 3n + 4 =M −N −P  − 1 −  −= 1 − (n − 3) .  2   2  2 n(n − 1)(n − 2)Vì có tất cả đường thẳng và mỗi giao điểm như trên được tính 2 lần nên số giao 2 n(n − 1)(n − 2)(n3 − 4n 2 + 3n + 4)điểm tối đa có thể có là: . 8Bài toán trên thú vị ở chỗ là nếu thay song song bởi vuông góc thì vẫn cho ra cùng một kết quảnhư trên.Bài 2. Trong mặt phẳng cho n điểm phân biệt A1 , A2 ,..., An sao c ...