Bài giảng Chương 2: Tích phân bội (Phần 1)

Bài giảng Chương 2: Tích phân bội (Phần 1) giới thiệu tới các bạn những nội dung về bài toán thể tích; nhận dạng hàm khả tích, tính chất hàm khả tích, định lý giá trị trung bình, cách tính tích phân kép.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Chương 2: Tích phân bội (Phần 1) Chương 2: TÍCH PHÂN BỘIPhần 1: TÍCH PHÂN KÉP BÀI TOÁN THỂ TÍCHXét vật thể hình trụ được giới hạn trên bởimặt cong z = f(x, y) > 0, mặt dưới là Oxy, baoxung quanh là mặt trụ có đường sinh // Oz vàđường chuẩn là biên của miền D đóng và bị Dchận trong Oxy. Tìm thể tích . z z = f(x, y) D yxXấp xỉ bằng các hình trụ con Thể tích xấp xỉ của hình trụ con Vij S (Dij ) f ( xij* , y ij* )V (Ω) = Vij i, j Dij ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN KÉPCho hàm số z = f(x, y) xác định trong miềnD đóng và bị chận. DPhân hoạch D thành các miền con D1, D2, …, Dn Sk là diện tích Dk của miền con Dk. d(Dk) = đường kính Dk = khoảng cách lớn nhất giữa 2 điểm trong Dk. d = max{d (Dk )} Đường kính phân hoạch k =1, n Mk được chọn tùy ý trong Dk f(Mk) Sk S ( Dk ) D Mk nSn = f (Mk )∆Sk Tổng tích phân của f k =1 n Sn = f (Mk )∆Sk k =1f khả tích nếu: lim Sn < d 0với phân hoạch tùy ý của DTích phân kép của f trên D là giới hạnnếu có của Sn � �f ( x , y )ds = lim Sn D d 0Phân hoạch D theo các đường // ox, oy DijKhi f khả tích, việc tính tích phân không phụthuộc vào phân hoạch. Do đó có thể phânhoạch D theo các đường song song Ox, Oy.Dk là hình chữ nhật với các cạnh x, y Sk = x. y Thay cách viết tp kép � �f ( x , y )dxdy = � �f ( x , y )ds D D Nhận dạng hàm khả tích• Đường cong (C) : y = y(x) trơn tại M(x0,y0)(C) nếu y’(x) liên tục tại x0.• (C) trơn từng khúc nếu (C) được chia thànhhữu hạn các đoạn trơn.Nếu f(x,y) liên tục trên miền D đóng, bị chậnvà có biên trơn từng khúc thì f khả tích trênD. Tính chất hàm khả tích Cho D là miền đóng và bị chận1 / S (D) = � �1dxdy (Diện tích D) D2/� �c.f ( x , y )dxdy = c.� �f ( x , y )dxdy D D � �(f + g )dxdy = � �fdxdy + � �gdxdy D D D3 / D = D1 U D2 , D1 va� D2 khongdamnhau � �(toi � ach�� � d nhbien) � �fdxdy = � � �fdxdy + � �fdxdyD1 UD2 D1 D2 Định lý giá trị trung bìnhD là miền liên thông nếu 2 điểm tùy ý trong D cóthể nối nhau bởi 1đường cong liên tục trong D. Cho f liên tục trên tập đóng, bị chận, liên thông D. Khi đó tồn tại M0(x0, y0) D sao cho 1 f (M0 ) = ��f ( x , y )dxdy S (D) D 1 gọi là giá trị trung ��f ( x , y )dxdy S (D ) D bình của f trên D. CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN KÉP y = y 2 (x) a x b D: y1 ( x ) y y2 (x) D b y2 (x ) f ( x , y )dy dx y = y1 ( x ) a y1 ( x ) a b b y2 (x)Cách viết: � � D � f ( x , y )dxdy = dx a y1 ( x ) f ( x , y )dyd x = x2 ( y ) D c y d D: x1 ( y ) x x2 ( y )c d�x2 ( y ) � � f ( x , y )dx � dy x = x1 ( y ) � � c�x1 ( y ) � d x2 ( y )Cách viết: � �D f ( x , y )dxdy = dy � c x1 ( y ) f ( x , y )d ...