Bài giảng Chương 3: Các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên và véctơ ngẫu nhiên

Bài giảng Chương 3: Các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên và véctơ ngẫu nhiên tập trung trình bày các vấn đề cơ bản về kỳ vọng; phương sai; các đặc trưng khác của đại lượng ngẫu nhiên; kỳ vọng của hàm;... Mời các bạn cùng tìm hiểu và tham khảo nội dung thông tin tài liệu.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Chương 3: Các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên và véctơ ngẫu nhiên Chương 3.Các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên và véctơ ngẫu nhiên. §1 Kỳ vọng 1. Định nghĩa Định nghĩa 1.1: Giả sử Ρ ( Χ = xi ) = pi � Ε ( Χ ) = xi pi i Định nghĩa 1.2: Giả sử X là liên tục và có hàm mật độ là + fX ( x) � Ε ( Χ) = x. f X ( x ) dx − Ý nghĩa:kỳ vọng E(X) là giá trị trung bình của X 2. Tính chất: (1) E(C) = C,(2) E(CX) = C.E(X) ,C là hằng số (3) E(X+Y) = E(X) + E(Y) (4) X, Y độc lập suy ra E(XY) = E(X).E(Y) Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 1 @Copyright 2010 §2: PHƯƠNG SAI 1.Định nghĩa 2.1:Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X D ( Χ) = Ε ( Χ − Ε ( Χ) ) � 2 � là: � � D( Χ) = Ε ( Χ ) − ( Ε ( Χ ) ) 2 2 Định lý 2.1 : + Ε ( Χ 2 ) = xi2 . pi nếu X rời rạc i + + Ε ( Χ2 ) = x 2 . f Χ ( x ) dx nếu X liên tục − 2. Tính chất: (1) D(C) = 0 ; (2) D(CX) = C 2 .D ( Χ ) (3) X,Y độc lập suy ra D(X+Y) = D(X)+D(Y) (4) D(C+ X) = D(X), với C là hằng số Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 2 @Copyright 2010 3. Độ lệch: σ ( Χ) = D ( Χ) §3.Các đặc trưng khác của đại lượng ngẫu nhiên 1.Mod X(giá trị của X ứng với xác suất lớn nhất) Định nghĩa 3.1: Giả sử X rời rạc và Ρ ( Χ = xi ) = pi � Mod Χ = xi0 , pi0 = Maxpi Định nghĩa 3.2: Giả sử X liên tục và có hàm f X ( x ) , ta có � Mod Χ = x0 ; f X ( x0 ) = Maxf X ( x ) 2. Med X(medium – trung vị X) Định nghĩa 3.3: Med Χ = m � Ρ ( Χ < m ) �1/ 2, Ρ ( X > m ) �1/ 2 m 1 Định lý 3.1: Nếu X liên tục thì MedX = m � f X ( x ) dx = − 2 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 3 @Copyright 2010 3.Moment Định nghĩa 3.4: Moment cấp k cuả đại lượng ngẩu nhiên X ( ) k đối với số a là Ε � X − a � � � a = 0: moment gốc a = E(X):moment trung tâm. 4. Hệ số nhọn và hệ số bất đối xứng(xem SGK) cos x, x [ 0, π / 2] Ví dụ 3.1: Χ ~ fX ( x) = 0, x [ 0, π / 2] π /2 π Ε ( Χ) = x.cos xdx = − 1 0 2 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 4 @Copyright 2010 2 π /2 �π � D( X ) = x cos xdx − � − 1�= π − 3 2 10 44 2 4 43 �2 � ( ) Ε X2 Mod X =0 m m Med X � �f ( x ) dx = �cos xdx = 1/ 2 − X 0 � sin m = 1/ 2 � m = π / 6 Ví dụ 3.2 :Cho X có bảng phân phối xác suất như sau Χ 1 2 ... k ... m −1 m m + 1.... k −1 m−2 m −1 Ρ p pq ... pq ... pq pq ... pq m ... Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 5 @Copyright 2010 1 1 E( X ) = kp.q k −1 = p. = ( 1− q) 2 k =1 p 2 + �1� k −1 D( X ) = k pq −� � 2 1 4 2 43 k =1 �p � Ε( Χ ) 2 2 1+ q �1 � 1+ q 1 q = p. − � � = − = (1 − q )3 �p � p2 p2 p2 Mod X = 1 p ( 1 + q + ... + q m − 2 ) 1/ 2 Med X =m p ( 1 + q + ... + q m − 2 + q m −1 ) 1/ 2 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 6 @Copyright 2010 . 1 − q m −1 m −1 1 q �p. 1/ 2 � 1 − q m −1 1 / 2 � 2 �� 1 − q � �m �� � ...