Bài giảng chương 5: Phương trình vi phân - ThS. Hồ Thị Bạch Phương

Mục tiêu của bài giảng "Phương trình vi phân" của ThS. Hồ Thị Bạch Phương nhằm giúp các em sinh viện biết cách giải phương trình vi phân (Ordinary Differential Equations ODEs); Hiểu được tầm qua trọng của phương pháp số giải ODEs; Đánh giá độ tin cậy của các phương pháp đó. Mời quý thầy cô và các em cùng tham khảo chi tiết bài giảng tại đây.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng chương 5: Phương trình vi phân - ThS. Hồ Thị Bạch Phương Trường Đại Học Công Nghiệp Tp.HCM Khoa Kỹ Thuật Cơ KhíChương 5: Phương trình vi phân ThS. Hồ Thị Bạch Phương IUH - 2022 Mục tiêu của chương Giải phương trình vi phân (Ordinary Differential Equations ODEs). Sự quan trọng của phương pháp số giải ODEs. Đánh giá độ tin cậy của các phương pháp. Đạo hàm Đạo hàm ( vi phân) Đạo hàm Đạo hàm riêng dv u dt y v là 1 hàm của biến u là hàm của hơn 1 độc lập biến độc lập2Phương trình vi phân Phương trình vi phân Phương trình vi phân Phương trình đạo hàm riêng 2 d v u u2 2  6tv  1  2 0 dt 2 y 2 x Gồm 1 hoặc nhiều đạo Gồm 1 hay nhiều đạo hàm hàm toàn phần của của các hàm ẩn số. các hàm ẩn số.3Phương trình vi phân (Ordinary differentialequation ODE)Phương trình vi phân (ODEs) gồm một hoặc nhiều đạo hàm củacác hàm ẩn với 1 biến độc lập. Ví dụ:dv(t)  v(t)  e t x(t): Hàm ẩn dtd 2 x(t) dx(t) 2 5  2x(t)  cos(t) dt dt t: Biến độc lập4Bậc của 1 phương trình vi phânBậc của 1 phương trình vi phân là bậc của đạo hàm cao nhất.Ví dụ: dx(t)  x(t)  e t Bậc 1 ODE dt d 2 x(t) dx(t) 2 5  2x(t)  cos(t) Bậc 2 ODE dt dt d 2 x(t) dx(t) 2   2x (t)  1 4 Bậc 2 ODE dt dt5ODE tuyến tínhMột phương trình vi phân ODE là tuyến tính nếu hàm và đạohàm của nó xuất hiện với lũy thừa 1. Không có tích của hàmvà/hoặc đạo hàm của nó.Ví dụ:dx(t) ODE tuyến tính  x(t)  e t dtd 2 x(t) dx(t) ODE phi tuyến  5  2t 2 x(t)  cos(t) dt 2 dt 3 d x(t)  dx(t) 2 2    x(t)  1 ODE phi tuyến dt  dt6ODE phi tuyếnMột phương trình ODE là phi tuyến nếuNếu hàm và đạo hàm của nó xuất hiện lớn hơn 1. Có tích giữahàm và/hoặc đạo hàm của nó. Ví dụ: dx(t)  cos(x(t))  1 dt d 2 x(t) dx(t) 2  5 x(t)  2 dt dt 2 d x(t) dx(t) 2   x(t)  1 dt dt7Giải phương trình vi phân bằng pp số x(t)  cos(2t) Tất cả các hàm với x(t) = cos(2t) + cLà nghiệm của pt vi phân là nghiệm của pt vi phân trên với c 2 là hằng số. d x(t) 2  4x(t)  0 dtĐể có thể giải pt vi phân bậc n chúng ta cần n điều kiện. d 2 x (t )  4 x ( t )  0 ODE bậc 2 dt 2 x (0)  a 2 điều kiện cần để giải. x (0)  b8 Điều kiện phụ (Auxiliary Conditions) Điều kiện phụ Điều kiện ban đầu Điều kiện biên  Tất cả điều kiện là ở 1  Các điều kiện thì không ở 1 điểm của biến độc lập. điểm của biến độc lập.9Bài toán giá trị biên và giá trị ban đầu. Bài toán giá trị ban đầu Bài toán giá trị biên  Các điều kiện thì không ở 1 • Tất cả điều kiện là ở điểm của biến độc lập 1 điểm của biến độc  Giải bài toán này khó hơn bài lập. toán giá trị ban đầu. x  2 x  x  e 2t x  2 x  x  e 2t x(0)  1, x (0)  2.5 x(0)  1, x(2)  1.5 Giống Khác10 nhau nhau Phân loại pt vi phân ODEsCác pt vi phân có thể được phân loại theo các cách khác nhau: Bậc : ODE bậc 1; ODE bậc 2; ODE bậc n . Tuyến tính: ODE tuyến tính; ODE phi tuyến. Điều kiện phụ: Các bài toán giá trị ban đầu; Các bài toán giá trị biên Phương pháp giải tích để giải ODEs thì có sẵn cho ODEs tuyến tính và các loại đặc biệt cho ODEs phi tuyến. Phương pháp số  PP số được dùng để đạt 1 đồ họa hoặc 1 bảng của hàm.  Hầu hết pp số dùng để giải các pt vi phân dựa trên trực tiếp ...