Bài giảng Cơ học kỹ thuật: Chương 4.5 - Phạm Thành Chung

Bài giảng "Cơ học kỹ thuật: Chương 4.5 - Phương trình Lagrange loại 2" được biên soạn với các nội dung chính sau: Thiết lập chương trình Lagrange loại hai cho hệ n chất điểm; Thí dụ áp dụng; Các tích phân đầu của chuyển động. Mời các bạn cùng tham khảo bài giảng!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Cơ học kỹ thuật: Chương 4.5 - Phạm Thành Chung §5. Phương trình Lagrange loại 2 Nội dung 1 Các khái niệm cơ bản 2 Nguyên lý công ảo 3 Nguyên lý d’Alembert 4 Nguyên lý d’Alembert - Lagrange 5 Phương trình Lagrange loại 2 Thiết lập phương trình Lagrange loại hai cho hệ n chất điểm Thí dụ áp dụng Các tích phân đầu của chuyển động Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 68 / 91 §5. Phương trình Lagrange loại 2 Giới thiệu sơ lược Phương trình Lagrange loại 2 là PTVPCĐ của hệ hôlônôm gồm các chất điểm và các vật rắn. Số phương trình đúng bằng số bậc tự do của hệ. Giới thiệu cách thiết lập phương trình Lagrange loại 2 cho hệ n chất điểm Trong trường hợp hệ các vật rắn chịu các liên kết hôlônôm, kết quả vẫn có dạng như trường hợp hệ chất điểm. Một vài thí dụ áp dụng Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 69 / 91 §5. Phương trình Lagrange loại 2 5.1 Thiết lập phương trình Lagrange loại hai cho hệ n chất điểm Nội dung 1 Các khái niệm cơ bản 2 Nguyên lý công ảo 3 Nguyên lý d’Alembert 4 Nguyên lý d’Alembert - Lagrange 5 Phương trình Lagrange loại 2 Thiết lập phương trình Lagrange loại hai cho hệ n chất điểm Thí dụ áp dụng Các tích phân đầu của chuyển động Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 69 / 91 §5. Phương trình Lagrange loại 2 5.1 Thiết lập phương trình Lagrange loại hai cho hệ n chất điểm Một vài công thức động học cần thiết Vị trí của mỗi chất điểm thuộc hệ ~rk = ~rk (q1 , q2 , ..., qm , t), qi = qi (t) (i = 1, ..., m) (46) m d~rk X ∂~rk ∂~rk ∂~vk ∂~rk ⇒ = ~vk = q˙ i + ⇒ = (47) dt ∂qi ∂t ∂ q˙ j ∂qj i=1 ∂~ rk ∂~ rk Do ~vk = ~vk (q1 , ..., qm , q˙ 1 , ..., q˙ m , t) và ∂qj = ∂qj (q1 , ..., qn , t) nên ta có m ∂~ vk P ∂ 2~ rk ∂ 2~rk ∂qj = ∂qi ∂qj q˙ i + ∂qj ∂t i=1   P m d ∂~ rk ∂ 2~rk ∂ 2~ rk dt ∂qj = ∂qi ∂qj q˙ i + ∂qj ∂t i=1 So sánh hai công thức ta rút ra hệ thức     d ∂~rk ∂ d~rk ∂~vk = = (48) dt ∂qj ∂qj dt ∂qj Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 70 / 91 §5. Phương trình Lagrange loại 2 5.1 Thiết lập phương trình Lagrange loại hai cho hệ n chất điểm Thiết lập phương trình Lagrange loại hai Xét hệ hôlônôm gồm n chất điểm và có f bậc tự do. Như thế cơ hệ xác định bởi f toạ độ suy rộng đủ: q1 , q2 , ..., qf . Nguyên lý d’Alembert - Lagrange đối với hệ n chất điểm có dạng Xn   F~ka − mk ~ak .δ~rk = 0 (49) k=1 f P ∂~ rk Từ ~rk = ~rk (q1 , q2 , ..., qm , t) suy ra δ~rk = ∂qi δqi . Thế vào (49) ta được i=1 f n f n ! ! X X ∂~rk X X d 2~rk ∂~rk F~ka . δqi − mk 2 . δqi = 0 (50) ∂qi dt ∂qi i=1 k=1 i=1 k=1 Theo định nghĩa lực suy rộng ta có n X ∂~rk Qi = F~ka . (51) ∂qi k=1 Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 71 / 91 §5. Phương trình Lagrange loại 2 5.1 Thiết lập phương trình Lagrange loại hai cho hệ n chất điểm Bây giờ ta biến đổi biểu thức n n d 2~rk ∂~rk ...