Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 6 - TS. Phạm Văn Đạt

Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 6 Bài toán phẳng trong hệ trục tọa độ cực, cung cấp cho người học những kiến thức như: Các phương trình cơ bản; giải bài toán theo ứng suất; Bài toán nêm phẳng chịu lực tập trung;... Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 6 - TS. Phạm Văn ĐạtCƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T Chương 6: BÀI TOÁN PH NG TRONG H TR C T A C C Khi nghiên c u tính toán cho các bài toán vành tròn, ĩa v.v… n u dùng h tr c t aDescartes mô t các i lư ng ( ng su t, bi n d ng) thì không thu n ti n b ng mô t trongh tr c t a c c. Ví d khi nghiên c u tr ng thái ng su t, bi n d ng trong các ng dày,các ĩa quay, thanh cong, t i nh ng mi n c nh l tròn c a t m… Trong t a c c, v trí m t i m ư c xác nh góc c c θ và vectơ bán kính r.6.1 Các phương trình cơ b n6.1.1. Các phương trình vi phân cân b ng : Gi s có v t th ch u l c song song v i m t ph ng. T i i m A(r,θ,z), ta c t ra 1phân t gi i h n b ng 6 m t. 230CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T - 2 m t tr ng tr c cách nhau m t kho ng dr. - 2 m t ph ng ch a tr c z và t o v i nhau m t góc dθ. - 2 m t ph ng song song m t ph ng oxy cách nhau 1 ơn v z y r dr τrθ+ τrθ dθ σr + σr dr θ b r σθ+ σθ dθ θ τθr 1 dθ a τθr + r dr c θ σr τrθ o y d σθ dθ τθr dr x r x o θ Hình 6.1 231CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN TKý hi u: r là tr c theo hư ng bán kính, θ là tr c i qua i m ang xét A(r,θ,z) vàvuông góc v i r, ng su t trên các m t s ư c ký hi u như sau: - Các m t nh n r làm pháp tuy n: + Trên m t i qua i m A(r,θ,z) có các thành ph n ng su t: σr, τ rθ . + Trên m t i qua i m A(r,θ + dθ,z), khai tri n theo Taylor có các thành ph n ng ∂σr ∂τsu : σr + dθ , τrθ + rθ dθ ∂θ ∂θ - fr, fθ : L c th tích hư ng tâm và ti p tuy n tác d ng lên m t ơn v ti p tuy n.Xét cân b ng c a phân t ch u l c như hình 6.1 : ∂σr dθ ∂σ dθΣr = 0 ⇔ − σr .r.dθ.1 + (σr + dr)(r + dr).dθ− σθ .dr.1.sin − (σθ + θ dθ).dr.1.sin − ∂r 2 ∂θ 2 dθ ∂τ dθτθr .dr.1.cos + (τθr + θr dθ)dr.1.cos + f r .r.dθ.dr = 0 2 ∂θ 2 232CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T dθ dθ dθVì bi n d ng bé nên sin ≈ ; cos ≈ 1 2 2 2 Sau khi b qua các nguyên lư ng vô cùng bé và chia cho r.dr.dθ ta ư c: ∂σr 1 ∂τθ r σr − σθ + + + fr = 0 (6.1) ∂r r ∂θ r Tương t chi u các l c lên phương θ ta ư c ∂τ rθ1 ∂σθ τ rθ + +2 + fθ = 0 (6.2) ∂r r ∂θ r + nh lu t i ng c a ng su t ti p : τ rθ = τ θr (6.3) 233CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T6.1.2. Các phương trình hình h c: Chuy n v c a i m A(r, θ) theo phương r, θ là: u, v. y ∂u D Chuy n v c a i m B(r+dr, θ ...