Bài giảng Đại số cơ bản: Bài 18 - PGS. TS Mỵ Vinh Quang

Trong bài 18 sẽ trình bày về không gian vectơ Euclide với những nội dung cơ bản như: Các khái niệm cơ bản; hệ trực giao, hệ trực chuẩn, cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn; hình chiếu trực giao và đường trực giao,... Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Đại số cơ bản: Bài 18 - PGS. TS Mỵ Vinh Quang ĐẠI SỐ CƠ BẢN (ÔN THI THẠC SĨ TOÁN HỌC) Bài 18. Không gian vectơ Euclide PGS TS Mỵ Vinh Quang Ngày 10 tháng 3 năm 20061 Các khái niệm cơ bản1.1 Tích vô hướng và không gian vectơ Euclide Định nghĩa. Cho V là không gian vectơ trên R. Một tích vô hướng trên V là một ánh xạ h,i : V × V → R (α, β) 7→ hα, βithỏa các điều kiện sau: với mọi α, α1 , α2 ∈ V , β ∈ V với mọi a ∈ R, i) hα1 + α2 , βi = hα1 , βi + hα2 , βi ii) haα, βi = ahα, βi iii) hα, βi = hβ, αi iv) hα, αi ≥ 0 hα, αi = 0 khi và chỉ khi α = 0. Chú ý rằng, do tính chất i), ii). Khi cố định vectơ β ∈ V , tích vô hướng là một ánh xạ tuyếntính đối với biến thứ nhất. Do tính chất đối xứng (giao hoán) iii), ta dễ dàng suy ra khi cố địnhα ∈ V , thì tích vô hướng là một ánh xạ tuyến tính đối với biến thứ 2, tức là: α, β, β1 , β2 ∈ V ,a ∈ R ta có: i’) hα, β1 + β2 i = hα, β1 i + hα, β2 i ii’) hα, aβi = ahα, βi Định nghĩa Không gian vectơ trên R, trong đó có thêm một tích vô hướng được gọi là không gian vectơEuclide. Chú ý Từ tính chất tuyến tính của tích vô hướng theo từng biến (tính chất i, ii, i’, ii’), ta dễ dàngcó các công thức sau: • h0, αi = hα, 0i = 0 với mọi α ∈ V . 1 m X n X • Giả sử α = ai αi , β = bj βj thì: i=1 j=1 * m n + m X n X X X hα, βi = ai αi , bj βj = ai b j hαi , βj i i=1 j=1 i=1 j=11.2 Các ví dụ 1. Cho V = Rn , ∀α = (x1 , . . . , xn ), β = (y1 , . . . , yn ) ∈ V , ta định nghĩa: n X hα, βi = x1 y1 + · · · + xn yn = xi yi i=1 Đây là một tích vô hướng trên Rn và (Rn , h , i) là một không gian vectơ Euclide. 2. Cho V = C[a, b] là không gian vectơ các hàm số thực liên tục trên [a, b]. Với mọi f (x), g(x) thuộc C[a, b] ta định nghĩa: Z b hf (x), g(x)i = f (x)g(x)dx a Đây là một tích vô hướng trên C[a, b] và (C[a, b], h , i) là một không gian vectơ Euclide.1.3 Độ dài và góc 1. Định nghĩa. Cho E là không gian vectơ Euclide. Với mỗi vectơ α ∈ E, độ dài của vectơ α, ký hiệu là kαk, là số thực không âm, xác định như sau: p kxk = hx, xi 2. Các ví dụ p (a) E = Rn , x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn thì kxk = x21 + · · · + x2n Z b (b) E = C[a, b], f (x) ∈ C[a, b] thì kf (x)k = [f (x)]2 dx a 3. Một vài tính chất cơ bản Trong không gian vectơ Euclide E, ta có: • kαk = 0 ⇔ α = 0 và a ∈ R, kaαk = |a|.kαk • Bất đẳng thức Bunhiacốpxki ∀α, β ∈ E, |hα, βi| ≤ kαk.kβk Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi các vectơ α, β phụ thuộc tuyến tính. Chứng minh – Nếu β = 0, bất đẳng thức hiển nhiên đúng. – Nếu β 6= 0 thì tam thức bậc hai: f (t) = hβ, βit2 − 2hα, βit + hα, αi = hα − tβ, α − tβi ≥ 0 với mọi t ∈ R. Do đó, ∆0f ≤ 0 ⇔ hα, βi2 − hα, αihβ, βi ≤ 0 ⇔ |hα, βi| ≤ kαk.kβk 2 • Bất đẳng thức tam giác ∀α, β ∈ E, kαk − kβk ≤ kα + βk ≤ kαk + kβk Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki, ta có: kα + βk2 = hα + β, α + βi = hα, αi + 2hα, βi + hβ, βi ≤ kαk2 + kαkkβk + kβk2 = (kαk + kβk)2 Do đó, kα + βk ≤ kαk + kβk Do chứng minh trên, ta có: kαk = k(α + β) + (−β)k ≤ kα + βk + k − βk = kα + βk + kβk Do đó, kαk − kβk ≤ kα + βk 4. Góc giữa hai vect ...