Bài giảng Đại số cơ bản: Bài 17 - PGS. TS Mỵ Vinh Quang

Bài 17 gồm các bài tập về ánh xạ tuyến tính và hướng dẫn giải các bài tập về ánh xạ tuyến tính. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm bắt nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Đại số cơ bản: Bài 17 - PGS. TS Mỵ Vinh Quang ĐẠI SỐ CƠ BẢN (ÔN THI THẠC SĨ TOÁN HỌC) Bài 17. Giải bài tập về ánh xạ tuyến tính PGS TS Mỵ Vinh Quang Ngày 10 tháng 3 năm 2006 1. a. Cho ánh xạ f : Rn → R, chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại các số a1 , a2 , . . . , an ∈ R để f (x1 , x2 , . . . , xn ) = a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn b. Cho ánh xạ f : Rn → Rm . Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại các số aij ∈ R để f (x1 , x2 , . . . , xn ) = (a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn , . . . , am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn ) (∗) Giải. Ta chỉ giải câu b., câu a. là trường hợp đặc biệt của câu b. khi m = 1. Kiểm tra trực tiếp, ta thấy ngay rằng nếu f có dạng như (∗) thì f là ánh xạ tuyến tính. Ngược lại, nếu f là ánh xạ tuyến tính, ta đặt: f (ei ) = (a1i , a2i , . . . , ami ) với i = 1, 2, . . . , n, trong đó ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0). Khi đó ta có f (x1 , x2 , . . . , xn ) = f (x1 e1 + x2 e2 + . . . + xn en ) = x1 f (e1 ) + x2 f (e2 ) + . . . + xn f (en ) = f (a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn , . . . , am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn ) 2. Tìm công thức của ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 biết a. f (1, 1, 2) = (1, 0, 0), f (2, 1, 1) = (0, 1, 1), f (2, 2, 3) = (0, −1, 0). b. f (1, 2, 3) = (−1, 0, 1), f (−1, 1, 1) = (0, 1, 0), f (1, 3, 4) = (1, 0, 2). Giải. a. Giả sử (x1 , x2 , x3 ) = a1 (1, 1, 2) + a2 (2, 1, 1) + a3 (2, 2, 3) (1) Khi đó f (x1 , x2 , x3 ) = a1 (1, 0, 0) + a2 (0, 1, 1) + a3 (0, −1, 0) = (a1 , a2 − a3 , a2 ) (2) Do đó, để tính f (x1 , x2 , x3 ), ta cần tính a1 , a2 , a3 qua x1 , x2 , x3 . Do công thức (1), a1 , a2 , a3 là nghiệm của hệ:     1 2 2 x1 1 2 2 x1  1 1 2 x2  −→  0 −1 0 −x1 + x2  2 1 3 x3  0 −3 −1 −2x1 + x3  1 2 2 x1 −→  0 −1 0 −x1 + x2  0 0 −1 x1 − 3x2 + x3 1 Vậy: a3 = −x1 + 3x2 − x3 a2 = x 1 − x 2 a1 = x1 − 2a2 − 2a3 = x1 − 2(x1 − x2 ) − 2(−x1 + 3x2 − x3 ) = x1 − 4x2 + 2x3 Thay vào (2), công thức của ánh xạ f là: f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 − 4x2 + 2x3 , 2x1 − 4x2 + x3 , x1 − x2 ) b. Giải tương tự câu a., chi tiết xin dành cho bạn đọc. 3. Trong R3 cho 2 cơ sở: u1 = (1, 0, 0), u2 = (0, 1, 1), u3 = (1, 0, 1) (u) v1 = (1, −1, 0), v2 = (0, 1, −1), v3 = (1, 0, 1) (v) và cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 , f (ui ) = vi . a. Tìm công thức của f . b. Tìm các ma trận Af /(u) , Af /(u),(v) , Af /(v) , Af /(v),(u) , Af /(ε3 ) Giải. a. Giả sử (x1 , x2 , x3 ) = a1 u1 + a2 u2 + a3 u3 (1) Khi đó f (x1 , x2 , x3 ) = f (a1 u1 + a2 u2 + a3 u3 ) = a1 f (u1 ) + a2 f (u2 ) + a3 f (u3 ) = a1 (1, −1, 0) + a2 (0, 1, −1) + a3 (1, 0, 1) = (a1 + a3 , −a1 + a2 , −a2 + a3 ) Vậy f (x1 , x2 , x3 ) = (a1 + a3 , −a1 + a2 , −a2 + a3 ) (2) Ta cần tính a1 , a2 , a3 theo x1 , x2 , x3 , do (1), a1 , a2 , a3 là nghiệm của hệ     1 0 1 x1 1 0 1 x1  0 1 0 x2  −→  0 1 0 x2  0 1 1 x3 0 0 1 −x2 + x3 do đó: a3 = −x2 + x3 , a2 = x2 , a1 = x1 − a3 = x1 + x2 − x3 . Thay vào (2) công thức của f là: f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 , −x1 + x3 , −2x2 + x3 ) b. • Ma trận Af /(u) Ta có: f (u1 ) = v1 = a1 u1 + a2 u2 + a3 u3 (1) f (u2 ) = v2 = b1 u1 + b2 u2 + b3 u3 (2) f (u3 ) = v3 = c1 u1 + c2 u2 + c3 u3 (3) Khi đó   ...