Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 2: Các phép toán trên ma trận và Ma trận khả nghịch

Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 2: Các phép toán trên ma trận và Ma trận khả nghịch cung cấp cho người đọc những kiến thức như: Các phép toán ma trận; Các phép toán ma trận vuông; Ma trận khả nghịch; Ứng dụng. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 2: Các phép toán trên ma trận và Ma trận khả nghịch Chương 2 Các phép toán trên ma trận và Ma trận khả nghịch 1 /34 Nội dung 1. Các phép toán ma trận 2. Các phép toán ma trận vuông 3. Ma trận khả nghịch 4. Ứng dụng 2 /34 1. Các phép toán ma trận Sự bằng nhau của hai ma trận Hai ma trận bằng nhau nếu: 1) cùng cở; 2) các phần tử ở những vị trí tương ứng bằng nhau (aij = bij với mọi i và j). Phép cộng hai ma trận Cùng cỡ Tổng A + B: Các phần tử tương ứng cộng lại Ví dụ ⎛ −1 2 4 ⎞ ⎛3 − 2 6⎞ ⎛ 2 0 10 ⎞ A=⎜ ⎟; B = ⎜ ⎟ A+ B = ⎜ ⎟ ⎝ 3 0 5⎠ ⎝1 4 7 ⎠ ⎝ 4 4 12 ⎠ 1. Các phép toán ma trận Phép nhân ma trận với một số. Nhân ma trận với một số, ta lấy số đó nhân với tất cả các phần tử của ma trận. Ví dụ ⎛ −1 2 4 ⎞ ⎛− 2 4 8 ⎞ A=⎜ ⎟ 2× A = ⎜ ⎟ ⎝ 3 0 5⎠ ⎝ 6 0 10 ⎠ Tính chất: a) A + B = B + A; b) (A + B) + C = A + ( B + C); c) A + 0 = A; d) k(A + B) = kA + kB; e) k(mA) = (km)A; f) (k + m)A = kA + mA; 1. Các phép toán ma trận Phép nhân hai ma trận với nhau A = (aij ) m× p ; B = (bi j ) p×n AB = C = (cij ) m×n với cij = ai1b1 j + ai 2b2 j + ... + aip bpj ⎡ b1 j ⎤ ⎡ * ⎤⎢ ⎥ ⎡ ! ⎤ ⎢ ⎥⎢ * b2 j * ⎥ ⎢ ⎥ AB = ⎢ ai1 ai2 ... aip ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ... cij ... ⎥ ⎢ ⎥⎢ ! ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ * ⎦⎢ ⎣ ! ⎦ bpj ⎥ ⎣ ⎦ 1. Các phép toán ma trận Ví dụ ⎛1 − 2 2⎞ ⎛ 2 −1 4 ⎞ ⎜ ⎟ Tính AB A=⎜ ⎟; B = ⎜ 3 0 1 ⎟ ⎝ 4 1 0⎠ ⎜ 2 4 3⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 1 −2 2 ⎞ ⎛ 2 −1 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎛⎛ c711 cc12 c 13 ⎞⎞ 12 c13 A ×B = ⎜ ⎟ × 3 0 1 =⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 4 1 0 ⎠ ⎜⎜ ⎟ ⎟ cc ⎝⎝ 2121 cc22 22 c c 23 ⎠⎠ 23 ⎝2 4 3⎠ ⎛1⎞ c11 = ( 2 −1 4 ) ⎜ 3 ⎟ = 2 ×1 + ( −1) × 3 + 4 × 2 = 7 ⎜ ⎟ ⎜2⎟ ⎝ ⎠ 1. Các phép toán ma trận Ví dụ ⎛ 2 −1⎞ ⎛1⎞ A=⎜ ⎟ ;B = ⎜ ⎟ ⎝4 1 ⎠ ⎝ 3⎠ Tìm ma trận X, thỏa AX = B. Xác định cỡ của ma trận X là 2x1. Đặt X = ⎛a⎞ ⎜b ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 2 −1⎞⎛ a ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 2a − b ⎞ ⎛ 1 ⎞ A X =B ⇔ ⎜ ⎟⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⇔⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝ 4 1 ⎠⎝ b ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 4a + b ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎧ 2a − b = 1 2 1 ⎛ 2/3 ⎞ ⇔⎨ ⇔ a = ,b = X =⎜ ⎟ ⎩4a + b = 3 3 3 ⎝ 1/ 3 ⎠ 1. Các phép toán ma trận Tính chất của phép nhân hai ma trận a. A(BC) = (AB)C; b.A(B + C) = AB + AC; c. (B+C)A = BA+CA; d. ImA = A = AIm e. k (AB) = (kA)B = A(kB). Chú ý: 1. Nói chung AB ≠ BA 2. AB = AC B=C 3. AB = 0 A = 0∨ B = 0 1 2 43 = 8 5 4 3 1 2 = 13 20 ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 34 21 20 13 21 34 5 8 1 0 0 0 = 0 0 1 0 0 0 = 0 0 ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 0 01 0 0 0 0 1 0 0 0 2. Các phép toán ma trận vuông Nâng ma trận lên lũy thừa. A0 = I A 2 = A ⋅A A3 = A ⋅A ⋅A An = ' A ⋅$ A!A A #$⋅% n f ( x) = an x n + an−1x n−1 + ... + a1x + a0 ; A = (aij ) n×n f ( A ) = an A n + an −1A n −1 + ... + a1A + a0 I . 2. Các phép toán ma trận vuông Ví dụ ⎛ 2 −1⎞ 2 Tính f(A). A=⎜ ⎟ ; f ( x ) = 2 x − 4x + 3 ⎝3 4 ⎠ f ( A ) = 2A 2 − 4A + 3I ⎛ 2 −1⎞⎛ 2 −1⎞ ⎛ 2 −1⎞ ⎛ 1 0 ⎞ f (A ) = 2 ⎜ ⎟⎜ ⎟ − 4⎜ ⎟ + 3⎜ ⎟ ⎝ 3 4 ⎠⎝ 3 4 ⎠ ⎝ 3 4 ⎠ ⎝ 0 1 ⎠ ⎛ 1 −6 ⎞ ⎛ 8 −4 ⎞ ⎛ 3 0 ⎞ f (A ) = 2 ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎝ 18 13 ⎠ ⎝ 12 16 ⎠ ⎝ 0 3 ⎠ ⎛ −3 −8 ⎞ f (A ) = ⎜ ⎟ ⎝ 24 13 ⎠ 2. Các phép toán ma trận vuông Ví dụ ⎛ 1 3⎞ A=⎜ ⎟ . Tính A2; A3, từ đó suy ra A200 ⎝ 0 1⎠ 2 ⎛ 1 3 ⎞⎛ 1 3 ⎞ ⎛ 1 6 ⎞ A = A ⋅A = ⎜ ⎟⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝ 0 1 ⎠⎝ 0 1 ⎠ ⎝ 0 1 ⎠ 3 2 ⎛ 1 6 ⎞⎛ 1 3 ⎞ ⎛ 1 9 ⎞ A = A ⋅A = ⎜ ⎟⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝ 0 1 ⎠⎝ 0 1 ⎠ ⎝ 0 1 ⎠ 200 ⎛ 1 200 × 3 ⎞ ⇒A =⎜ ⎟ ⎝ 0 1 ⎠ 2. Các phép toán ma trận vuông Ví dụ ⎛ 2 3⎞ A=⎜ ⎟ . Tính A200 ⎝ 0 2⎠ ⎛ 2 3⎞ ⎛ 1 3/2 ⎞ ⎛1 a⎞ A =⎜ ⎟ = 2⋅⎜ ⎟ = 2⎜ ⎟ ⎝ 0 2 ⎠ ⎝ 0 1 ⎠ ⎝ 0 1 ⎠ n ⎛ 1 a ⎞ ⎛ 1 na ⎞ T a co˘: ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝ 0 1 ⎠ ⎝ 0 1 ⎠ ⎛ 2200 300 ⋅ 2200 ⎞ A 200 =⎜ ⎟⎟ ⎜ 0 2 200 ⎝ ⎠ 2. Các phép toán ma trận vuông Ví dụ ⎛ 1 1⎞ A=⎜ ⎟ . Tính A2 ...