Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 4: Không gian véc tơ

Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 4: Không gian véc tơ, cung cấp cho người đọc những kiến thức như: Không gian vectơ; Không gian con sinh bởi tập hữu hạn; Cơ sở và số chiều; Tìm cơ sở một số không gian con; Độc lập - Phụ thuộc tuyến tính; Tọa độ của vec-tơ theo cơ sở. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 4: Không gian véc tơ Chương 4: Không gian véc tơ 1 /46 Nội dung 1. Không gian vectơ 2. Kgian con sinh bởi tập hữu hạn 3. Độc lập - Phụ thuộc tuyến tính. 4. Cơ sở và số chiều. 5. Tìm cơ sở một số kgian con . 6. Tọa độ của vec-tơ theo cơ sở. 2 /46 1. Không gian véc tơ Định nghĩa: 1. x + y = y + x; 2. (x + y) + z = x + (y + z) 3. Tồn tại véc tơ không, ký hiệu 0 sao cho x + 0 = x 4. Mọi x thuộc V, tồn tại vectơ, ký hiệu –x sao cho x + (-x) = 0 5. Với mọi số α , β ∈ K và mọi vector x: ( α + β ) x = αx + βx 6. Với mọi số α ∈ K , với mọi x , y ∈V : α( x + y ) = α x + α y 7.( αβ ) x = α ( β x ) 8. 1x = x 1. Không gian véc tơ Tính chất của không gian véctơ 1) Véctơ không là duy nhất. 2) Phần tử đối xứng của véctơ x là duy nhất. 3) 0x = 0 x ∈V 4) α 0 = 0 α ∈K 5) -x = (-1)x x ∈V 1. Không gian véc tơ Ví dụ 1 V1 = {( x1 , x2 , x3 ) xi ∈ R} Định nghĩa phép cộng hai véctơ như sau: x + y = ( x1 , x2 , x3 ) + ( y1 , y2 , y3 ) = ( x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3 ) Định nghĩa phép nhân véctơ với một số thực như sau: α ⋅ x = α ( x1 , x2 , x3 ) = (αx1 ,αx2 ,αx3 ) ⎧ x1 = y1 ⎪ Định nghĩa sự bằng nhau: x = y ⇔ ⎨ x2 = y 2 ⎪x = y ⎩ 3 3 V1-Không gian véctơ R3 trên trường số thực 1. Không gian véc tơ Ví dụ 2 V2 = {ax 2 + bx + c a, b, c ∈ R} Định nghĩa phép cộng hai véctơ: là phép cộng hai đa thức thông thường, đã biết ở phổ thông. Định nghĩa phép nhân véctơ với một số: là phép nhân đa thức với một số thực thông thường, đã biết ở phổ thông. Định nghĩa sự bằng nhau: hai véc tơ bằng nhau nếu hai đa thức bằng nhau, tức là các hệ số tương ứng bằng nhau). V2 - Không gian véctơ P2 [ x] 1. Không gian véc tơ Ví dụ 3 ⎧⎡a b ⎤ ⎫ V3 = ⎨⎢ ⎥ a, b, c, d ∈ R ⎬ ⎩⎣ c d ⎦ ⎭ Định nghĩa phép cộng hai véctơ: là phép cộng hai ma trận đã biết trong chương ma trận. Định nghĩa phép nhân véctơ với một số: là phép nhân ma trận với một số đã biết. Định nghĩa sự bằng nhau của hai véctơ: hai véc tơ bằng nhau hai ma trận bằng nhau. V3 - Không gian véctơ M 2 [ R] 1. Không gian véc tơ Ví dụ 4 V 4 = {( x 1, x 2 , x 3 ) x i ∈ R ∧ 2x 1 + 3x 2 + x 3 = 0} Phép cộng hai véctơ và nhân véctơ với một số giống như trong ví dụ 1. V4 - là KGVT CHÚ Ý: Có nhiều cách khác nhau để định nghĩa hai phép toán trên V1, ( hoặc V2, hoặc V3 ) sao cho V1 ( hoặc V2, hoặc V3 ) là không gian véctơ. 1. Không gian véc tơ Ví dụ 5 V 5 = {( x 1 ,x 2 ,x 3 ) x i ∈ R ∧ x 1 + x 2 − 2x 3 = 1} Phép cộng hai véctơ và nhân véctơ với một số giống như trong ví dụ 1. V4 - KHÔNG là KGVT x = (1,2,1) ∈V4 , y = (2,3,2) ∈V4 x + y = (3,5,3) ∉ V4 2. Độc lập-phụ thuộc tuyến tính Tập con V- KGVT trên K M = {x1 , x2 ,..., xm } ∃α1,α 2 ,!,α m ∈ K không đồng thời bằng 0 M–phụ thuộc α1x1 + α 2 x2 +!+ α m xm = 0 tuyến tính α1x1 + α 2 x2 +!+ α m xm = 0 M – độc lập tuyến tính → α1 = α 2 =!α m = 0 2. Độc lập-phụ thuộc tuyến tính V- KGVT trên K Tập con M = {x1 , x2 ,..., xm } Vector x thuộc V được gọi là Tổ hợp tuyến tính của M, nếu ∃α1,α 2 ,!,α m ∈ K x = α1x1 + α 2 x2 +!+ α m xm 2. Độc lập-phụ thuộc tuyến tính Ví dụ 5 Trong không gian R3 cho họ véc tơ M = {(1,1,1); (2,1, 3), (1, 2, 0)} 1. Hỏi M độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? 2. Véctơ x = (2,-1,3) có là tổ hợp tuyến tính của họ M? Giải câu 1. Giả sử α ( 1,1,1) + β ( 2,1, 3) + γ ( 1, 2, 0 ) = 0 ⇔ ( α + 2β + γ ,α + β + 2γ ,α + 3β ) = ( 0, 0, 0 ) ⎧α + 2β + γ = 0 ⎛1 2 1 ⎞ ⎪ ⇔ ⎨α + β + 2γ = 0 A = ⎜1 1 2 ⎟ ⇒ r( A ) = 2 ⎜ ⎟ ⎪ α + 3β = 0 ⎜1 3 0 ⎟ ⎩ ⎝ ⎠ Hệ có vô số nghiệm, suy ra M phụ thuộc tuyến tính 2. Độc lập-phụ thuộc tuyến tính Giải câu 2. Giả sử α ( 1,1,1) + β ( 2,1, 3) + γ ( 1, 2, 0 ) = x ⇔ ( α + 2β + γ ,α + β + 2γ ,α + 3β ) = ( 2, −1, 3) ⎧ α + 2β + γ = 2 ⎛1 2 1 2 ⎞ ⎪ ⇔ ⎨α + β + 2γ = −1 (A |b) = ⎜1 1 2 −1⎟ ⎜ ⎟ ⎪ α + 3β = 3 ⎜1 3 0 3 ⎟ ⎩ ⎝ ⎠ r(A |b) ≠ r(A ) Hệ pt vô nghiệm, suy ra không tồn tại bộ số α , β , γ Vậy véctơ x không là tổ hợp tuyến tính của M. 2. Độc lập-phụ thuộc tuyến tính M = {x1, x2 ,!, xm } Hệ thuần nhất α1x1 + α 2 x2 +!+ α m xm = 0 AX=0 Có duy nhất nghiệm X = 0 M – độc lập tuyến tính Có nghiệm khác không M – phụ thuộc tuyến tính 2. Độc lập-phụ thuộc tuyến tính M = {x1, x2 ,!, xm } α1x1 + α 2 x2 +!+ α m xm = x Hệ pt AX= b Hệ có nghiệm x là tổ hợp tuyến tính của M Hệ vô nghiệm x không là tổ hợp tuyến tính 2. Độc lập-phụ thuộc tuyến tính Ví dụ Tr ...