Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 4 - ThS. Lê Nhật Nguyên

Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 4 cung cấp cho người học những kiến thức như: Trị riêng, véctơ riêng của ma trận; Chéo hóa ma trận; Chéo hóa ma trận đối xứng bởi ma trận trực giao; Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính; Chéo hóa ánh xạ tuyến tính. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 4 - ThS. Lê Nhật NguyênChương 4: Trị riêng, véctơ riêng Nội dung---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4.1 – Trị riêng, véctơ riêng của ma trận4.2 – Chéo hóa ma trận.4.3 – Chéo hóa ma trận đối xứng bởi ma trận trực giao.4.4 – Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính.4.5 – Chéo hóa ánh xạ tuyến tính. 4.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Số  được gọi là trị riêng của A, nếu tồn tại véctơ x kháckhông, sao cho Ax   x . Khi đó, véctơ x được gọi là véctơ riêng của ma trận vuông A tương ứng với trị riêng  . 4.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Giả sử 0 là trị riêng của ma trận A  x 0  0 : A x 0  0x 0  A x 0  0x 0  0  (A  0I )x 0  0 Hệ thuần nhất có nghiệm khác không  det(A  0I )  0 det( A   I )  0 được gọi là phương trình đặc trưng củama trận vuông A.Đa thức PA ( )  det( A   I ) gọi là đa thức đặc trưng của A.Vậy  là trị riêng khi và chỉ khi  là nghiệm của phươngtrình đặc trưng. 4.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Định nghĩaBội đại số của trị riêng  là bội của trị riêng  trong phươngtrình đặc trưng.Định nghĩa Không gian nghiệm của hệ (A  1I )X  0 được gọi là không gian con riêng ứng với TR 1 , ký hiệu E 1Định nghĩaBội hình học của trị riêng là số chiều của không gian con riêngtương ứng với trị riêng đó. 4.2 Chéo hóa ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định lý Hai ma trận đồng dạng có cùng đa thức đặc trưng (tức là cùng chung tập trị riêng).Giả sử hai ma trận A và B đồng dạng, tức là (P ) P 1A P  B . det(B   I )  det(P 1A P   I )  det(P 1A P   P 1IP )  det(P 1 (A   I )P )  det(P 1 ).det( A   I ).det( P )  det(A   I ) Vậy A và B cùng đa thức đặc trưng.Chú ý. Hai ma trận đồng dạng có cùng trị riêng nhưng các véctơ riêng thì khác nhau. 4.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  3 1 1   Tìm trị riêng; cơ sở, chiều của Ví dụ. A  2 4 2   các kgian con riêng ứng. 1 1 3  Lập phương trình đặc trưng của A: det( A   I )  0 3 1 1  2 4 2  0  (  2)2 (  6)1  0 1 1 3 Trị riêng 1  2 BĐS = 2 BHH chưa biết? Trị riêng 2  6 BĐS = 1 BHH = 1 4.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tìm cơ sở, chiều của kgian con riêng ứng với 1  2. 3 2 1 1  x 1  ( A  1I ) X  0  2 42 2  x 2   0     1 1 3  2  x    3 Giải hệ bằng cách biến đổi ma trận hệ số ta được nghiệm tổng quát x1  1 0  1   0   là cơ sở của kgian x   x  0   x  1    0  ,  1   con riêng E   E 2 2  1  2        1x   1  1  1  1  dim(E  )  2 3          1Hoàn toàn tương tự ta tìm được cơ sở và chiều của không gian conriêng ứng với trị riêng 2  6. 4.2 Chéo hóa ma trận ------------------------------------------------------------------------------------------------------Định nghĩa Ma trận vuông A gọi là chéo hóa được nếu A đồng dạng với ma trận chéo. Tức là tồn tại ma trận khả nghịch P sao cho P 1A P  D trong đó D là ma trận chéo.  1 0  0  0      2  D    0 ...