Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 4 - ThS. Nguyễn Phương

Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 4 Dạng toàn phương trình bày những nội dung chính: giá trị riêng - vectơ riêng; chéo hóa ma trận, chéo hóa trực giao; dạng toàn phương, đưa dạng toán phương về dạng chính tắc; dạng toán phương xác định dấu.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 4 - ThS. Nguyễn Phương Chương 4: D NG TOÀN PHƯƠNG Th.S NGUY N PHƯƠNG Khoa Giáo d c cơ b n Trư ng Đ i h c Ngân hàng TPHCMBlog: https://nguyenphuongblog.wordpress.com Email: nguyenphuong0122@gmail.com Yahoo: nguyenphuong1504 Ngày 28 tháng 10 năm 2013 11 Giá tr riêng - vectơ riêng Các đ nh nghĩa Cách tìm vectơ riêng, giá tr riêng2 Chéo hóa ma tr n. Chéo hóa tr c giao Đ nh nghĩa chéo hóa Các bư c chéo hóa ma tr n vuông Chéo hóa tr c giao ma tr n đ i x ng3 D ng toàn phương. Đưa DTP v d ng chính t c D ng toàn phương Đưa d ng toàn phương v d ng chính t c Phương pháp Lagrange Phương pháp Jacobi4 D ng toàn phương xác đ nh d u. Đ nh lý Sylvester D ng toàn phương xác đ nh d u Đ nh lý Sylvester Giá tr riêng - vectơ riêng Các đ nh nghĩaĐ nh nghĩa- Cho ma tr n A ∈ Mn (R). S th c λ đư c g i là tr riêng c a A n u t n t ivector 0 x ∈ Rn n u A[x] = λ[x].- Vector x 0 th a A[x] = λ[x] đư c g i là vector riêng c a ma tr n A ng v itr riêng λ. 4 −2Ví d 1:V i A = , x = (2; 1), ta đư c 1 1 4 −2 2 6 2 A[x] = = =3 = 3[x] 1 1 1 3 1V y x = (2; 1) là vector riêng c a A ng v i tr riêng λ = 3.Tính ch t N u A có vectơ riêng x ng v i tr riêng λ thì kx, k 0 cũng là vectơ riêng ng v i tr riêng λ. N u A có tr riêng λ thì λm là tr riêng c a Am . N u A có tr riêng λ và |A| 0 thì λ−m là tr riêng c a A−m . 3 Giá tr riêng - vectơ riêng Các đ nh nghĩaĐ nh nghĩaCho ma tr n vuông A = (aij ) c p n, ma tr n đơn v c p n: I.- Ma tr n đ c trưng c a A là  a11 − λ a12 ... a1n    a22 − λ ...    a21  a2n   A − λI =    . . .. .   . . .  . . . .           ... ann − λ   an1 an2- Đa th c đ c trưng c a A là đ nh th c c a ma tr n đ c trưng (là m t đath c λ), det(A − λI).- Phương trình đ c trưng c a ma tr n A là det(A − λI) = 0. 1 2Ví d 2: Cho A = , ta có đa th c đ c trưng 3 4 1−λ 2 det(A − λI) = = λ2 − 5λ − 2 3 4−λ 4 Giá tr riêng - vectơ riêng Cách tìm vectơ riêng, giá tr riêngCách tìm vectơ riêng, giá tr riêng- Bư c 1: Gi i phương trình đ c trưng:det(A − λI) = 0.Các nghi m tìm đư c là các giá tr riêng c n tìm.- Bư c 2: Gi s λ0 là giá tr riêng. Gi i h phương trình tuy n tính thu nnh t (A − λ0 I)X = 0.Nghi m không t m thư ng c a phương trình này là vectơ riêng c n tìm. 4 −2Ví d 3: Cho A = . Tìm giá tr riêng và vector riêng c a A. 1 1Gi i. Phương trình đ c trưng là 4−λ −2 det(A − λI) = 0 ⇔ = 0 ⇔ λ2 − 5λ + 6 = 0 ...