Bài giảng điện tử Bất đẳng thức cauchy

Tài liệu học môn bất đẳng thức và áp dụng dành cho học sinh hệ trung học phổ thông ôn thi vào các trường đại học tham khảo ôn tập và củng cố kiến thức.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng điện tử Bất đẳng thức cauchyChương 1: Bất đẳng thức Cauchy1.2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY• BÀI GIẢNG 1.2.1.D¹ t nghuËn cña ¼ nghøc auchy: bÊt® t C Tiếp theo thực hiện ý tưởng của Cauchy (Augustin-Louis Cauchy 1789 – 1857) đối với tổng Ta nhận được tam thức bậc hai dạng nênChương 1: Bất đẳng thức Cauchy1.2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY• BÀI GIẢNG Với mọi bộ số ta luôn có bất đẳng thức sau Dấu đẳng thức trong (1.4) xảy ra khi và chỉ khi bộ số và tỷ lệ với nhau, tức tồn tại cặp số thực không đồng thời bằng 0, sao cho Bất đẳng thức (1.4) thường được gọi là bất đẳng thức Cauchy (® «ikhicßn ® î gäil bất đẳng thức Bunhiacovski, bất đẳng thức Cauchy- c µ Bunhiacovski hoặc bất đẳng thức Cauchy – Schwarz).Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy1.2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY• BÀI GIẢNG 1.2.2 Dạng phức của bất đẳng thức Cauchy Nhận xét rằng từ một đẳng thức đã cho đối với bộ số thực ta đều có thể mở rộng (theo nhiều cách thức khác nhau) thành một đẳng thức mới cho bộ số phức. Chẳng hạn, ta có thể coi mọi số thực đã cho như là phần thực của một số phức Ta nêu một số đồng nhất thức về sau cần sử dụngChương 1: Bất đẳng thức Cauchy1.2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY• BÀI GIẢNG Định lý 1. Với mọi bộ số ta luôn có đẳng thức sauChương 1: Bất đẳng thức Cauchy1.2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY• BÀI GIẢNG Định lý 2. Với mọi bộ số phức ta luôn có đẳng thức sau Hệ thức (1.6) cho ta bất đẳng thức Cauchy sau đây đối với bộ số phức.Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy1.2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY• BÀI GIẢNG 1.2.3 Dạng đảo của bất đẳng thức Cauchy Hệ quả 1. Với mọi bộ số phức ta luôn có bất đẳng thức sau Giả sử ta có bộ các cặp số dương sao choChương 1: Bất đẳng thức Cauchy1.2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY• BÀI GIẢNG Khi đó, theo định lý đảo của tam thức bậc hai thì hay Từ đây suy raChương 1: Bất đẳng thức Cauchy1.2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY• BÀI GIẢNG Theo bất đẳng thức Cauchy, thì Vậy nên Từ đây, ta thu được bất đẳng thức đảo Cauchy.Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy1.2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY• BÀI GIẢNG Bạn đã hoàn thành Mục 1.2 Chương 1Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy1.3.MỘT SỐ BĐT LIÊN QUAN• BÀI GIẢNG Định lý 1.(H. W. Mclaughlin). Với mọi bộ số thực và ta đều có Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi vàChương 1: Bất đẳng thức Cauchy1.3.MỘT SỐ BĐT LIÊN QUAN• BÀI GIẢNG ứng với mọi Tương tự, ta có thể mở rộng bất đẳng thức Cauchy cho bốn bộ số Sử dụng kỹ thuật bất đẳng thức Cauchy đối với và ta thu đượcChương 1: Bất đẳng thức Cauchy1.3.MỘT SỐ BĐT LIÊN QUAN• BÀI GIẢNG Định lý 2. (A. M. Ostrowski). Cho hai dãy không tỷ lệ và và dãy số thực thỏa mãn điều kiện Khi đóChương 1: Bất đẳng thức Cauchy1.3.MỘT SỐ BĐT LIÊN QUAN• BÀI GIẢNG Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khiChương 1: Bất đẳng thức Cauchy1.3.MỘT SỐ BĐT LIÊN QUAN• BÀI GIẢNG Định lý 3. (K. Fan and J. Todd). Với mọi dãy số thực và thỏa mãn điều kiện ứng với ta đều cóChương 1: Bất đẳng thức Cauchy1.3.MỘT SỐ BĐT LIÊN QUAN• BÀI GIẢNG Bạn đã hoàn thành Mục 1.3 Chương 1Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY• BÀI GIẢNG 1.4.1. Độ gần đều và sắp thứ tự dãy cặp điểm Từ bất đẳng thức Ta suy ra với mọi cặp số không âm với tổng bằng 1 cho trước thì tích đạt giá trị lớn nhất bằng khi Vậy Tương tự đối với một cặp ta cũng có: ...