Bài giảng điện tử Toán 1: Bài 5 - TS. Nguyễn Quốc Lân

Nhằm giúp các bạn chuyên ngành Toán học có thêm tài liệu phục vụ nhu cầu học tập và nghiên cứu, mời các bạn cùng tham khảo nội dung bài 5 "Khai triển Taylor và Maclaurint" thuộc bài giảng điện tử Toán 1 dưới đây. Nội dung bài giảng trình bày về ba định lý trung bình, công thức khai triển Taylor, công thức triển khai Mac-Laurint, phương pháp tìm khai triển Taylor,...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng điện tử Toán 1: Bài 5 - TS. Nguyễn Quốc Lân BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK ------------------------------------------------------------------------ BGĐT – TOÁN 1BÀI 5: KHAI TRIỂN TAYLOR & MACLAURINT TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (12/2006) 1 NỘI DUNG---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1- BA ĐỊNH LÝ TRUNG BÌNH2- CÔNG THỨC KHAI TRIỂN TAYLOR3- CÔNG THỨC KHAI TRIỂN MAC - LAURINT4- PHƯƠNG PHÁP TÌM KHAI TRIỂN MAC - LAURINT5- PHƯƠNG PHÁP TÌM KHAI TRIỂN TAYLOR6- ÁP DỤNG: TÌM GIỚI HẠN & TÍNH GẦN ĐÚNG7- QUY TẮC LOPITAN (L’HOSPITAL) 2 Các định lý trung bình và quy tắc L’HopitalHàm f(x) Đạo hàm f (x) / Định lý trung bình 3 1. CÁC ĐỊNH LÝ TRUNG BÌNH ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Cực trị tại x0: $ e > 0 : x Î (x0 – e, x0 + e) Þ f(x) £ f(x0) Fermat: f đạt cực trị tại x0 Î (a,b) & khả vi tại x0 Þ f’(x0) = 0Minh hoạ hình học: Ý nghĩa: Tìm GT lớn (bé) nhất của y = f(x) trên [a, b]: Ø Xét giá trị 2 đầu x = a, b Ø Xét tại x0Î(a,b): f’(x0) = 0 “Quên” 2 đầu: Ví dụ: y = x, x Î [0, 1] ® $ min, max?4 1. ĐỊNH LÝ ROLLE --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Hàm f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trong (a, b), f(a) = f(b) Þ $ x0Î(a, b): f’(x0) = 0 Minh hoạ hình học:VD: Chứng minhphương trình 4ax3 +3bx2 + 2cx – (a + b +c) = 0 có ít nhất 1nghiệm thực trongkhoảng (0, 1)Giải: Xét hàm phụ 5 1. ĐỊNH LÝ LAGRANGE --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Hàm f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) Þ $ c Î (a, b): f(b) – f(a) = f’(c)(b – a)Áp dụng: Khảo sáttính đơn điệu củahàm y = f(x) bằngđạo hàmVD: CMinh BĐThứcarctgx - arctgy £ x - y 6Hà m Đạo hàm 7q nằm giữa x và x0 89 »Nếu bỏ phần dư thì có thể coi hàm f(x)trong miền đủ gần x0 như là một đathức bậc n theo (x-x0) 10111213Chú ý : Có thể viết w « x 14 f ( x) = e x 0 f ( 0) = 1 x 1 f ( 0) = 1 e x e 2 f (0) = 1 x n e f ( n ) (0) = 1 f (0) f (0) 2 ( n f (0))f ( x ) = f ( 0) + x+ x + .. n x +R 1! 2! n! 15 f ( x) = sin x 0 f ( 0) = 0 cos x 1 f (0) = 1 - sin x 2 f ( 0) = 0 - cos x 3 f (0) = - 1 sin x 4 f (0) = 0 f ( 0) f (0) 2 f (0) 3 f (0) 4f ( x) = f (0) + x+ x + x + x + .. 1! 2! 3! 4! 16 f ( x) = cos x 0 f ( 0) = 1 - sin x 1 f (0) = 0 - cos x 2 f ( 0 ) = -1 sin x 3 f ( 0) = 0 cos x 4 f ( 0) = ...